2024年北京市高考数学真题试卷及答案.pdf

第 1页/共 24页绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 12 页页，150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项求的一项1.已知集合|41Mxx，|13Nxx，则MN（）A.43xx B.11xx C.0,1,2D.14xx 2.已知i 1iz，则z（）A.1 iB.iC.1 i D.13.求圆22260 xyxy的圆心到20 xy的距离（）A.2 3B.2C.3 2D.64.4xx的二项展开式中3x的系数为（）A.15B.6C.4D.135.已知向量a，b，则“0abab”是“ab或ab”的（）条件A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知 sin0f xx，11f x，21f x，12min|2xx，则（）A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1lnSdn，并且 d 越大，水质量越好若 S 不变，且12.1d，22.2d，则1n与2n的关系为（）A.12nn 第 2页/共 24页B.12nnC.若1S，则12nn；若1S，则12nn；D.若1S，则12nn；若1S，则12nn；8.已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 4，4，2 2，2 2，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C.2 3D.39.已知11,x y，22,xy是函数2xy 图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log22yyxxB.12122log22yyxxC.12212log2yyxxD.12212log2yyxx10.若集合2,|(),01,12x yyxt xxtx 表示的图形中，两点间最大距离为 d、面积为 S，则（）A.3d，1S B.3d，1S C.10d，1S D.10d，1S 第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.已知抛物线216yx，则焦点坐标为_12.已知,6 3，且与的终边关于原点对称，则cos的最大值为_13.已知双曲线2214xy，则过3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_14.已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列第一个圆柱的直径为 65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为 230mm，求前两个圆柱的高度分别为_15.已知|kkMk ab，na，nb不为常数列且各项均不相同，下列正确的是_.na，nb均为等差数列，则 M 中最多一个元素；na，nb均为等比数列，则 M 中最多三个元素；na为等差数列，nb为等比数列，则 M 中最多三个元素；第 3页/共 24页na单调递增，nb单调递减，则 M 中最多一个元素.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，7a，A 为钝角，3sin2cos7BbB（1）求A；（2）从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积7b；13cos14B；5sin32cA 注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分17.已知四棱锥 P-ABCD，/AD BC，1ABBC，3AD，2DEPE，E 是AD上一点，PEAD（1）若 F 是 PE 中点，证明：/BF平面PCD（2）若AB 平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值18.已知某险种的保费为0.4万元，前 3 次出险每次赔付0.8万元，第 4 次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差设毛利润为X，估计X的数学期望；（）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%估计保单下一保险期毛利润的数学期望19.已知椭圆方程 C：222210 xyabab，焦点和短轴端点构成边长为 2的正方形，过0,t2t 的直线 l 与椭圆交于 A，B，0,1C，连接 AC 交椭圆于 D（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线 BD 的斜率为 0，求 t20.已知 ln 1f xxkx在,0t ftt处切线为 l 第 4页/共 24页（1）若切线 l 的斜率1k ，求 f x单调区间；（2）证明：切线 l 不经过0,0；（3）已知1k，,A t f t，0,Cf t，0,0O，其中0t，切线 l 与 y 轴交于点 B 时当215ACOABOSS，符合条件的 A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10，1.60ln51.61，1.94ln71.95）21.设集合,1,2,3,4,5,6,7,8,2Mi j s t ijstijst 对于给定有穷数列:18nAan，及序列12:,.,s，,kkkkkij s tM，定义变换T：将数列A的第1111,ij s t项加 1，得到数列 1TA；将数列 1TA的第2222,ij s t列加1，得到数列 2 1T TA；重复上述操作，得到数列 2 1.sTT TA，记为 A（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A和序列 :1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，写出 A；（2）是否存在序列，使得 A为123456782,6,4,2,8,2,4,4aaaaaaaa，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；（3）若数列A的各项均为正整数，且1357aaaa为偶数，证明：“存在序列，使得 A为常数列”的充要条件为“12345678aaaaaaaa”第 5页/共 24页绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 12 页页，150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项求的一项1.已知集合|41Mxx，|13Nxx，则MN（）A.43xx B.11xx C.0,1,2D.14xx【答案】A【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得4,3MN，故选：A.2.已知i 1iz，则z（）A.1 iB.iC.1 i D.1【答案】C【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得i i 11 iz ，故选：C.3.求圆22260 xyxy的圆心到20 xy的距离（）A.2 3B.2C.3 2D.6【答案】C【解析】第 6页/共 24页【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260 xyxy，即221310 xy，则其圆心坐标为1,3，则圆心到直线20 xy的距离为221 323 211，故选：C.4.4xx的二项展开式中3x的系数为（）A.15B.6C.4D.13【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式，令432r，解出r然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】4xx的二项展开式为442144CC1,0,1,2,3,4rrrrrrrTxxxr，令432r，解得2r，故所求即为224C16.故选：B.5.已知向量a，b，则“0abab”是“ab或ab”的（）条件A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积分析可知 0abab等价于ab，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为 220ababab，可得22ab，即ab，可知 0abab等价于ab，若ab或ab，可得ab，即 0abab，可知必要性成立；若 0abab，即ab，无法得出ab或ab，例如1,0,0,1ab，满足ab，但ab且ab，可知充分性不成立；综上所述，“0abab”是“ab且ab”的必要不充分条件.第 7页/共 24页故选：A.6.已知 sin0f xx，11f x，21f x，12min|2xx，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x为 f x的最小值点，2x为 f x的最大值点，则12min22Txx，即T，且0，所以22T.故选：B.7.记水的质量为1lnSdn，并且 d 越大，水质量越好若 S 不变，且12.1d，22.2d，则1n与2n的关系为（）A.12nnB.12nnC.若1S，则12nn；若1S，则12nn；D.若1S，则12nn；若1S，则12nn；【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得12.1112.22eeSSnn，讨论S与 1 的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得112212.1ln12.2lnSdnSdn，解得12.1112.22eeSSnn，若1S，则112.12.2SS，可得112.12.2eeSS，即12nn；若1S，则1102.12.2SS，可得121nn；第 8页/共 24页若1S，则112.12.2SS，可得112.12.2eeSS，即12nn；结合选项可知 C 正确，ABD 错误；故选：C.8.已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 4，4，2 2，2 2，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C.2 3D.3【答案】D【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF 平面ABCD，可知PO平面ABCD，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,2 2PAPBABPCPD，分别取,AB CD的中点,E F，连接,PE PF EF，则,PEAB EFAB，且PEEFE，,PE EF 平面PEF，可知AB平面PEF，且AB平面ABCD，所以平面PEF 平面ABCD，过P作EF的垂线，垂足为O，即POEF，由平面PEF 平面ABCDEF，PO平面PEF，所以PO平面ABCD，由题意可得：2 3,2,4PEPFEF，则222PEPFEF，即PEPF，则1122PE PFPO EF，可得3PE PFPOEF，所以四棱锥的高为3.当相对的棱长相等时，不妨设4PAPC，2 2PBPD，第 9页/共 24页因为4 2BDPBPD，此时不能形成三角形PBD，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知11,x y，22,xy是函数2xy 图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log22yyxxB.12122log22yyxxC.12212log2yyxxD.12212log2yyxx【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可.【详解】由题意不妨设12xx，因为函数2xy 是增函数，所以12022xx，即120yy，对于选项 AB：可得1212122222 222xxxxxx，即12122202xxyy，根据函数2logyx是增函数，所以121212222loglog。