【数学】高等数学多元函数微分学.docx

60 曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1、球面 设 P0x 0 , y0 , z 0是球心， R 是半径，P x, y, z是球面上任一点，就P0 PR ，即2x x 02y y 022z z 0 R |精.|品.x 2 y 2 z 2 R 2x 2 y 2 z2|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * 2、椭球面 2a3、旋转曲面b 2 c2 1f x, z 0 | * | * | |欢.设 L 是 x0z 平面上一条曲线， L 绕 z 旋转一周所得旋y 0〔0,0,z 0〕|迎.|下.|载. 转曲面： f x 2 y 2 , z 02 2 2 2 2〔x 0,y 0,0〕〔x,y,z〕x 0 x y2 2z z 0x y , z z0x 0 x yz0 z代入方程 f x, z 0得 f x 2 y 2 , z 0z例 1、 zx 2 y 2 , z2xa x 2 y 22 2y z称为旋转抛物面 y0x2 2 2x y z旋转双曲面：a 22 1 ， 〔单〕 zca 2 c 24、椭圆抛物面 zax 2by 2ab 05、单叶双曲面6、双叶双曲面x y z2222221a b c2 2 2222x y z 1a b c7、二次锥面圆锥面x 2 y2 z 2a2 b 2 c2z 2 x 2 y 20z 2 ax 2by 2第 1 页，共 13 页8、柱面 抛物柱面 yax 2 a 0x 2 y 2椭圆柱面 1圆柱面 x 2a 2 b 2y 2 R 2 |精.|品.|可.60 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | 一般式F1 x, y, z 0F2 x, y, z 0x x t参数式 y y tz z t * | * | |欢.|迎.|下.|载.F1 x, y, z曲线F2 x, y, z0在三坐标面上投影方程0在 x0y 面上投影曲线方程：在联立；F1 x, y, zF2 x, y, z0中消去 z，再与 z=00第 2 页，共 13 页多元函数微分学10 二元函数及其极限与连续1、 zf x, y，定义域为平面上某一个平面域几何上 zf x, y为空间一张曲面；2、二元函数极限 P186例 1、争论函数 |精.|品.|可.f x, y4x y242y 4 x 2x 2 y2x 2 y 20 在 0,00极 限 是 否 存|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * 0在；4x 2 y44x 2K 4 x 44K 2 x 2 | 解： lim2 lim2 lim 2 0 * | * | |欢.x 0x y 2y 4 x 24 4x 0 K4 x 4 x 2x 0 x 2 K 4 1|迎.|下.而 lim 4y y4 ∴ f xy 在〔0,0〕 极限不存在 .|载. x 0 4 4 2yx y 2 y3、连续 P18720 多元函数的偏导数与全微分1、偏导数定义： zf x, y 在点x 0 , y 0处对 x 的偏导数，记作：zxxx 0 ,y y 0fxxx 0 ,y y 0z x x yx 0 ,y0f 1 x0 , y 0即： f x同理： f yx 0 , y 0x 0 , y 0lim fx 0lim fy 0x 0x 0 , y 0x, y 0xy yf x 0 , y 0f x 0 , y 0f x , f y 在x 0 , y 0存在，称 zf x, y在 x 0 , y 0可导；例 1、zx y , 求 z , z x y解： z xyx y 1 ,z x y lnx y第 3 页，共 13 页例 2、P188，例 5， 6设 z y 1 1x 2 sinx, yx 3 ,求 z x2,12解： zx,1x 3 ,z x 2,1dz x,13xx 2x 2 12dx |精.2、高阶偏导数2 z z2f xx x, yz xxf x 2|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | x x x2z zx y y xf xy2 zzxyy xzf yxx yzyx * | * | |欢.|迎.|下.|载.2 z zy 2 y yf xy , f yx , 连续，就f xy f yx3、全微分如 z f xx, yy f x, yA x B y o ρ2 2ρ x yz f x, y 在 x, y 可微全微分 dzf dx xf dy y偏导数f , fx y连续→可微↗可导↘连续例 3、设u x, yxlnyylnx1 就 dulnyy dx xx lnx dy y例 4、由方程xyzx 2 y 2 z 2 2确定 zz x, y 在点1,0,1 全微分 dz dx2dy第 4 页，共 13 页30 复合函数微分法定理： P194z = f 〔u . v〕u = u 〔 x . y.〕v = v 〔 x . y 〕z = f 〔 u , v 〕 = F 〔 x . y 〕z f ux u xf v , zv x yf u f vu y v x |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.例 5、P195，例 5.14设 z = 〔 1 + x2 + y2 〕xy 求 z zx y|资.|料. * | * | * 解： zz2exyln〔1 xy 2 〕2x 2 y | * | |欢.|迎.|下.|载.〔1 x 2xy2 〕 xyyln〔1 x 2y 2 〕1 x 2 y 2z 〔1 x 2yy 2 〕 xyxln〔1 x 2y 2 〕2xy 21 x 2 y 2例 5.15 解z f x 2y 2 , xy ， y x xz f 2x 22x x2 x , x 2 x xf u , v F xz f 4xx u2 〔x〕2x 〔x〕2 〔x〕〔x〕f 2x v〔x〕x 〔x〕2 f 2x u〔x〕x 〔x〕〔x〕〔x〕f 2x v〔x〕x 〔x〕例 7、 zy 2 f x 2y 2 ，其中 fu 可微，就y z zx y2xy f u2 yf u 2 y例 8、 zxx 〔 2 〕y, 〔u〕 可微，就 2 z y z 2zx y第 5 页，共 13 页例 9、设zf〔xy2 - y 2 〕，求证 1 z 1 z zx x y y y 2证：令 x 2 y 2 u 就z y2f〔u〕z 2xy f〔u〕 z1 2y f〔u〕x f1 z 12 〔u〕zy2yff〔u〕〔u〕f 2 〔u〕1 2yf〔u〕|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载.x x y y1 zyf〔u〕 y 2f 2 〔u〕yf〔u〕f 2 〔u〕例 10、设 zf 2x yg x ,。