物理竞赛专题四：等效法.docx

高中奥林匹克物理竞赛解题方法四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的， 在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一 些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响， 这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问 题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单 的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.赛题精讲例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度％从两墙 之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角们 解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为 一个完整的斜抛运动(见图).所以可用解斜抛运动的 方法求解.2v sin 9 由题意得：2d = v0 cos9 -1 = v0 cos9 - 一o 可解得抛射角9 = ^arcsin2^2 V 20例2：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v。

加速 度为s如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加o/n，求质点到达 B时的速度.解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线 运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直 线运动等效代替，则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为,,(n - 1)s=s 初 +末=33 n = 3sn - a = (3n - 1)s平—2 2 2n 2n一由匀变速运动的导出公式得2平L =匕-v^解得: (3n -1) aLV = \] V2 + 例3 一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成 反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为0 = 20如/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小七=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=?解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即，*P/F， 由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.- P P由此分析，可与出V =厂=7F kx当 x = S 时,v = v将其代入上式求解，得k=——= — vs vs1 1 2 2S 1 …… 所以老鼠到达B点时的速度v2 = — vi = - x 20 = 10如/s21 , 1 ,再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt = 2 ks2 - 2 ks2代入有关量可得Pt = 1 里 (s2 - s2) 2 v1 s1 2 1由此可解得t =保工=WZ土 = 7.5s 2s v 2 x 1 x 0.2此题也可以用图像法、类比法求解.r图4—2例4如图4—2所示，半径为r的铅球内有一半径为5的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球对小球的 引力.解析因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点.我们设想在铅球的空 腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球皿，然后在对于小球m对称的另一侧位置放另一 个相同的小铅球AM，这样加入的两个小铅球对小球m的引力可以抵消，就这样将空腔铅 球变成实心铅球，而结果是等效的.带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧AM对m的引力之和.设空腔铅球 对m的引力为F,实心铅球与AM对m的引力分别为耳、F2.则F=F1-F2 ①经计算可知：AM = 1M，所以M +AM) 8GmM=G = L2 7 L2厂 八mAM GmMF2 = G―—=―厂将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为(L — —)2 7 (L — —)2F = F - F = GmM [—-——1——]1 2 7L2 r7( L - 2)2例5如图4-3所示，小球长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的45，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次 反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处我们可以分别计算每次 碰撞垢上升的距离L1、L2、……、Ln，则小球总共通过的路程为 s = 2(L1 + L2 + ...... + Ln) + L，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦.我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻 力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做 功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速度分别为V、V]，碰撞后反弹的距离为L]，则mv 2 = mgL sin 0 mv 2 = mgL sin 02 211其中v = 4 v,所以％ =咋=(4)21 5 L v 2 51 1 1 16、碰撞中损失的动能为星广亏mv 2 - 2 mv12 = 2 mv2(1-25) 9 .根据等效性有f (L1 + L)= 气 解得等效摩擦力f = 41 mg sin0通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同.以整个运动为研究过程，有f - s = mgL - sin0 寸 / 探解出小球总共通过的总路程为s = 3 L. \此题也可以通过递推法求解，读者可试试.例6如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球， •设L和a已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 . 图4—4解析此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了.将双线摆摆长等效为单摆摆长L ' = L sin a，则此双线摆的周期为T，= 2丸L' / g = 2丸 0 sin a / g例8如图4—5所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小 的自由振动.如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆 的振动周期. 'fx / ■'解析复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不 能直接求解.如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行.设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角a处从静止开始摆 动，摆动到与竖直方向夹角为P时，具有相同的角速度«，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得 mgl (cos P - cos a) + mg ' (cos P - cos a) = — m©l )2 + L m(—)22 2 2 21 ，，、对单摆，得 mgl (cos P - cos a) = — m(—l )2联立两式求解，得l =516故原复摆的周期为T = 2兀K= 2冗:兰.g \ 6 g例9粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平 面上，如图4—6所示，已知：L=10cm，当此U形管以4m/s2的 加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s2）解析 当U形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重图4—6力场中，g'的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g'方向垂直.设g'的方向与g的方向之间夹角为a，则tan a = — = 04g由图4—6可知液面与水平方向的夹角为a，所以，Ah = L - tan a = 10 x 0.4 = 4cm = 0.04m.例10光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为3 mg，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度％，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0.解析小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中.3 、小球受到的等效重力为G =、：（mg）2+（5 mg ）2 =等效重力加速度g' = G =兰9 g m 3与竖直方向的夹角。

30如图4—7甲所示.所以B点为等效重力场中轨道的最高点，如图4—7,由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到b点时的速度—7 = /gRB在等效重力场中应用机械能守恒定律1 c 、 1mv 2 = mg （R + R cos 0 ） + — mv 22 2 b将g'、vB分别代入上式，解得给小球的初速度为v 0 =<2（拓 +1） gR例11空间某一体积为V的区域内的平均电场强度（E）的定义为£e ^VE 京 + E AV + …+ E 京 i i E = ―1 1 2 2 n n = -4=1 AV1 +AV2 + ... + AV &i i=1如图4—8所示，今有一半径为原来不带电的金属球，现 使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，图4—8与球心的距离为R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度.解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q的 点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生 的电场，相当于求点电荷q在金属球内产生的电场.由平均电场强度公式得E =主兰旦& AV=& 兰=£包AV $ V i i i V r 2 VAAV i=1 i=1 i=1 iii=1q设金属球均匀带电，带电量为q，其密度为P = 了，则有i=1E = yk1 PAV； = £kAq r 2 r 2i i = 1 i-kq因而有E = R2，方向从O指向q.V kAq乙二为带电球体在q所在点产生的场强， r2i例11质量为m的小球带电量为Q，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初 速度为v0.若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度.解析 若把电场力Eq和重力mg合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于 小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G'（即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G'垂直时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果电场力和重力的合力方向如图4—9所示，mg由图所示的几何关系可知即” e：小球从O点抛出时，在y方向上做匀减速直线运动，在x轴方向上做匀速直线运动.当 在y轴方向上的速度为零时，小球只具有x轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所 以Eqv"min V。

COSSg* +]E亦例12如图4—10所示，R］、R2。