第六节函数性态的研究.doc

第六节 函数性态的研究四曲线的凹凸性和拐点1凹凸性的概念及鉴别法前面我们运用导数研究了函数的单调性，根据导数符号可以判断一种函数在某个区间上是单调增长的，还是单调减小的但是仅凭函数的单调性还不能完全反映一种函数在某个区间上的变化规律，由于，同样是增函数(或减函数) ，它也许向上弯曲，也也许向下弯曲，也也许在某些部分向上弯曲，某些部分向下弯曲因此，在研究函数曲线的变化规律时，考察其弯曲方向及弯曲方向发生变化的点，也是相称重要的下面我们就来研究函数的弯曲方向和使弯曲方向发生变化的点1）曲线凹凸性的定义我们一方面给曲线的弯曲方向下一种确切的定义从图形上可以看出，在向下弯曲的曲线上，每一点处的切线都在曲线的上方，而在向下弯曲的曲线上，每一点处的切线都在曲线的下方因此我们可以根据这种特点来描述曲线的弯曲方向定义：在某区间内，如果曲线弧位于其每一点处切线的上方，则称此曲线弧在这个区间上是凹的；如果曲线弧位于其每一点处切线的下方，则称此曲线弧在这个区间上是凸的2）曲线凹凸性的鉴别法一方面，我们来看一下如何鉴别一种函数在某个区间上的凹凸性？下面，我们就通过对凹弧或凸弧曲线特性的讨论，推导出判断函数凹凸性的措施。

假设函数在内是凹的，在内任取两点、，且，过作曲线的切线，倾斜角记为，过作曲线的切线，倾斜角记为，通过观测可以发现，即，这阐明在内是单调增长的，因此 　　　　　 0 0 同理，假设函数在内是凸的，在内任取两点、且，过作曲线的切线，倾斜角记为，过作曲线的切线，倾斜角记为，通过观测可以发现，即，这阐明在内是单调减小的，因此 　　 0 0 可以看到，函数曲线的凹凸性与二阶导数的符号关系密切，那么，反过来，能不能用二阶导数的符号来鉴定函数曲线的凹凸性呢？定理１：设函数在内具有二阶导数，则在该区间内：（1）当时，曲线弧是凹的；（2）当时，曲线弧是凸的。

证明：在内任取一点，则曲线在点的切线方程为：曲线上的点与切线上的点的纵坐标之差为 （1）可以证明在区间（或）上满足拉氏定理条件 在与之间 （2）把（2）式代入（1）式得：即 在与之间若，则在内单调增长当时，，从而，即，即当时，，从而，即，即即当时，在内是凹的同理可证，当时，在内是凸的从这个定理可以看出，运用函数在内的二阶导数的符号，就能鉴别出在上的凹凸性例１鉴定曲线在上的凹凸性解：，　当时，在上是凹的下面，我们再来看一下如何鉴别一种函数在其定义域上的单调性？我们懂得，有些函数在其定义域上凹凸性是同样的，如；但是有些函数在其定义域的不同区间内凹凸性是各不相似的，如这就规定我们在鉴别函数的凹凸性时，先找出函数的弯曲区间，然后鉴别在这些区间上的符号，从而得出在各个弯曲区间上的凹凸性如何去找函数的弯曲区间呢？下面举例阐明例２鉴定曲线的凹凸性解：时，，在上是凹的时，，在上是凸的时，，在上是凹的可见，函数的弯曲区间是由点，将函数的定义域划提成的三个区间，而，正好是方程的根，因此的根是划分函数弯曲区间的点那么，除了的根外，尚有无其他的点也是划分弯曲区间的点呢？例３鉴定的凹凸性解：时，，在上是凹的时，，在上是凸的可见，函数的弯曲区间是由点将函数的定义域划提成的两个区间，而在处不存在，因此使不存在的点也是划分弯曲区间的点，因此，在划分弯曲区间时，也必须将这些点考虑进去。

综上所述，鉴别函数在其定义域上的凹凸性环节如下：（1）求出的定义域（2）求、（3）令，求出根及使不存在的点，设（4） 　　　　 例４鉴定曲线的凹凸性解：的定义域是，令，得，　　　　　　　 + － + 凹 凸 凹例5鉴定曲线的凹凸性解：的定义域是，令，无解；时不存在　　　　　　 — + 凸 凹注意：①在划分函数弯曲区间时不要涉及划分点②定理１的逆定理不成立，例如在上是凹的，但是因此，当在内的个别点处为零，在其他点处均为正（或负）时，函数在这个区间上仍旧是凹（或凸）的2拐点的概念及求法(1) 定义曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点注意：拐点必须是曲线上的点例如在是凸的，在是凹的，但是不是拐点，由于在没有定义2) 拐点的必要条件定理１：若在上二阶可导，且点是函数的拐点，则注意：①此定理的逆定理不成立，即若，不一定是拐点，如，，，时，，但是不是拐点因此可以得出这样的结论：对于二阶可导函数来说，拐点一定是二阶导数为零的点，二阶导数为零的点不一定是拐点。

这就阐明，二阶可导函数的拐点只也许取自于二阶导数等于零的点②此定理只是对二阶可导函数说的，二阶导数不存在的点也也许是拐点，如例3中，它在点的二阶导数不存在，但是是函数的拐点这就阐明，函数的拐点还也许取自于二阶导数不存在的点综合上面的分析可以看出，函数的拐点只也许取自于二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点3) 拐点的求法下面我们就来看一下如何来求一种函数的拐点？前面已经讲过，函数的拐点只也许取自于二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点因此，规定一种函数的拐点，我们可以先求出所有二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点，然后一种个地来判断这些点是不是拐点那么，如何来判断一种二阶导数等于零的点或二阶导数不存在的点是不是拐点呢？根据拐点的定义，拐点是曲线上凹弧和凸弧的分界点，因此当从小到大通过拐点时，曲线的弯曲方向发生了变化，即变化了符号，因此我们可以根据这一特点来鉴别一种二阶导数等于零的点或二阶导数不存在的点是不是拐点综合上面的讨论，求函数的拐点的环节如下：（1）求出的定义域（2）求、（3）令，求出根及使不存在的点，设（4）　　 例1讨论曲线的凹凸性及拐点解：的定义域是，令，得， + － + 凹 拐点 凸 拐点 凹拐点为和例：讨论的单调性、极值、凹凸性及拐点解：(1) 的定义域是(2)(3)令，得，；时，不存在令，无解；时，不存在(4)　 + － 不存在 － + － － － 不存在 + + + ↑ 极大值 ↓ 不存在 ↓ 极小值 ↑极大值为，极小值为，没有拐点例：讨论的单调性、极值、凹凸性及拐点解：(1) 的定义域是(2)(3)令，得，；时，不存在令，无解；时， 不存在(4)　 + － 不存在 － + － － － 不存在 + + + ↑ 极大值 ↓ 不存在 ↓ 极小值 ↑极大值为，极小值为，没有拐点五函数的渐近线1渐近线的定义如果曲线上一动点沿着曲线无限地远离原点时，该点与某一固定直线的距离趋于零，则称此直线为该曲线的渐近线。

渐近线是用来描述曲线在无穷远处的变化趋势的，在中学里已经接触过了，如双曲线，有渐近线，有渐近线轴、轴等2渐近线的种类及求法（1）水平渐近线如果，则直线是函数的水平渐近线注意：和时，也许趋于不同的常数，故求水平渐近线时要分别求，除非明显趋于同一常数2）铅直渐近线如果，则直线是函数的铅直渐近线注意：这里可以是单侧趋近3）斜渐近线如果，且，则直线是函数的斜渐近线注意：上面两个极限中只要有一种不存在，函数就没有斜渐近线例１求的水平渐近线、铅直渐近线解：　　　　　　是水平渐近线　　　 是铅直渐近线例２求的渐近线解：，无水平渐近线，是铅直渐近线是斜渐近线例3求的渐近线解：，无水平渐近线，是铅直渐近线，是铅直渐近线，是斜渐近线六 函数图形的描绘在中学里，人们学过描点作图法，一方面求出几种点的坐标，然后用光滑的曲线把它们逐个连接起来，就得到函数的图象但是一般来讲，这样得到的图象比较粗糙，曲线的某些弯曲情形常常得不到确切的反映目前学了导数，我们就可以运用导数来考察函数的单调性、极值、凹凸性、拐点及渐近线，进而理解函数在不同区域的变化规律，从而较为精确地描绘出函数在其定义域中的图形具体过程如下：（1）拟定函数的定义域，在轴、轴上的截距，找出不持续点。

2）求、，令、，分别求出这两个方程的根，并找出使得、不存在的点，求出这些点的函数值3）用这些点将函数的定义域划提成若干个区间，讨论函数在这些区间上的单调性、凹凸性，求出极值和拐点（列表阐明）4）求渐近线5）合适地选择若干辅助点，将它们与前面所求出的点标在坐标系中，然后根据讨论用光滑的曲线将这些点连接起来例１描绘的曲线解：(1)定义域：，为间断点时，；时，(2)令, 得,；时，不存在令，无实根；时，不存在(3) 　 + － 不存在　－　 　 + － － －　 不存在 + + + ↑ 极大值 ↓ 不存在 ↓ 极小值 ↑极小值为，极大值为(4)，没有水平渐近线，铅直渐近线是，斜渐近线是(5)选辅助点，，例２描绘的曲线解：(1)定义域，是间断点时，(2) 令, 得,；时，不存在令，无解；时，不存在(3) + － 不存在　 －　 　 + － － －　 不存在 + + + ↑ 极大值 ↓ 不存在 ↓ 极小值 ↑极小值为，极大值为(4)，无水平渐近线，是铅直渐近线，是斜渐近线(5)选辅助点，，，。