全等三角形判定-ppt课件.ppt

2024/8/21教学目标教学目标1.回顾本章所学知识内容，构建知识结构框架，使所学回顾本章所学知识内容，构建知识结构框架，使所学知识系统化知识系统化 2.熟练掌握三角形全等的条件，学会多角度熟练掌握三角形全等的条件，学会多角度.多方位的观多方位的观察图形和思考问题察图形和思考问题3.进一步学习有条理的思考进一步学习有条理的思考.运用四步法来完成证明题运用四步法来完成证明题4.感受全等三角形与生活的密切联系，体会数学的价值，感受全等三角形与生活的密切联系，体会数学的价值，增强用数学的意识增强用数学的意识知识点知识点1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的对应边相等，对应角相等3、三角形全等的条件：SSS SAS ASA AAS HL4、应用：、应用：利用全等三角形性质证明两条线段或两个角相等利用全等三角形性质证明两条线段或两个角相等 边角边公理边角边公理（3种）我们学过几种三角形的全等判定呢？我们学过几种三角形的全等判定呢？角边角公理角边角公理角角边公理角角边公理角边角公理（角边角公理（ASA））有有两个角两个角和它们的和它们的夹边夹边对对应相等的两个三角形全等应相等的两个三角形全等小结角角边公理（角角边公理（AAS））有有两角两角和和其中一角的对边其中一角的对边对对应相等的两个三角形全等应相等的两个三角形全等小结画全等三角形的另一个方法画全等三角形的另一个方法如右上图，如右上图，画法：画法：1、画线段、画线段A´B´=AB, 如右下图如右下图2、分别以、分别以 A´、、B´为圆心，为圆心，AC、、BC为半径画为半径画弧，两弧相交于点弧，两弧相交于点C´ .3、连结、连结A´C´、、 B´C´ 得得  A´B´C´.剪下剪下  A´B´C´放在放在ABC上，上，可以看到可以看到 A´B´C´ ≌ ≌ ABC，，由此可以得到由此可以得到判定两个三角形判定两个三角形全等全等的又一个公理的又一个公理.ABCA´B´C´已知任意已知任意ABC，画一个，画一个 A´B´C´,使使A´B´=AB, A´C´=AC, B´C´ =BC.有三边对应相等的有三边对应相等的两个三角形全等两个三角形全等学个新知识边边边（边边边（SSS）公理）公理小结证明：证明：AD = AD (公共边），公共边），在在ABD 和和ACD中，中，AB = AC,DB = DC (D是中点），是中点）， ∴∴ ABD ≌ ≌ ACD（（SSS），），∴∴ ∠∠1 = ∠∠BDC = (平角定义平角定义)∴∠∴∠1= ∠∠2 (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).∴∴ AD⊥⊥BC（垂直定义垂直定义）90°如图，如图，ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC，，AD是连结点是连结点A与与BC中点中点D的支架。

的支架求证：求证：AD⊥⊥BC例例 1例例 2已知：如图，AB=DC，AD=BC.求证： ∠A= ∠C.提示：要证明∠A= ∠C，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连结BD即可证明：证明： 连结BD在BAD 和DCB中，AB = CDAD = CBBD = DB (公共边)∴∠A = ∠C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ∴ BAD ≌ DCB（SSS），例例3: 已知已知已知已知: :如图如图如图如图∠∠∠∠B=B=∠∠∠∠DEF,BC=EFDEF,BC=EF, ,补充条件求证补充条件求证补充条件求证补充条件求证: :ΔABCΔABC≌ ≌ ≌ ≌ ΔDEFΔDEFD DE EF FA AB BC C(1)(1)若要以若要以若要以若要以“ “SASSAS” ”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；； AB=DE(2) (2) 若要以若要以若要以若要以“ “ASAASA” ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；为依据，还缺条件＿＿＿＿；为依据，还缺条件＿＿＿＿；为依据，还缺条件＿＿＿＿； ∠∠ACB= ∠∠DFE(3) (3) 若要以若要以若要以若要以“ “AASAAS” ”为依据，还缺条件＿＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿＿＿ ∠∠A= ∠∠D(4)(4)若要以若要以若要以若要以“ “SSSSSS” ” 为依据，还缺条件＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿ AB=DE AC=DF(5)(5)若若若若∠∠∠∠B=B=∠ ∠ ∠ ∠DEF=90°DEF=90°要以要以要以要以“ “HLHL” ” 为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿AC=DF证明题的分析思路：证明题的分析思路： ①①要证什么要证什么　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②②已有什么已有什么　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③③还还缺什么缺什么缺什么缺什么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④④④④创造条件创造条件创造条件创造条件注意注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法和结论，选择恰当的判定方法 2、全等三角形，是证明两条、全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相相等的重要方法之一，证明时等的重要方法之一，证明时 　　①①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。

的三角形中 ②②有有公共边公共边的，公共边一定是对应边，的，公共边一定是对应边， 有有公共公共角角的，公共角一定是对应角，有的，公共角一定是对应角，有对顶角对顶角，对顶角也，对顶角也是对应角是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路= == =_ __ _A AB BC CD DP P例例5已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图,P,P是是是是BDBD上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD. AB=CB,AD=CD. 求证求证求证求证: PA=PC: PA=PC①①①①要证明要证明要证明要证明PA=PCPA=PC可将其可将其可将其可将其放在放在放在放在ΔAPBΔAPB和和和和ΔCPB ΔCPB 或或或或ΔAPDΔAPD和和和和ΔCPDΔCPD考虑考虑考虑考虑②②②②已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等 （其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边） ③③③③还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对应相等应相等应相等应相等 若能使若能使若能使若能使∠∠∠∠ABP=ABP=∠∠∠∠CBPCBP或或或或∠∠∠∠ADP=ADP=∠∠∠∠CDP CDP 即可。

即可 创造条件创造条件创造条件创造条件 分分析：析：= == =_ __ _A AB BC CD DP P例例例例5 5已知：已知：已知：已知：P P是是是是BDBD上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD. AB=CB,AD=CD. 求证求证求证求证PA=PCPA=PC证明：在证明：在△△ABD和和△△CBD中中 AB=CB AD=CD BD=BD ∴∴ △△ABD≌△≌△CBD(SSS) ∴∠∴∠ABD=∠∠CBD 在在△△ABP和和△△CBP中中 AB=BC ∠∠ABP=∠∠CBP BP=BP ∴∴ △△ABP ≌ ≌ △△CBP(SAS) ∴∴PA=PC例例6已知:如图如图AB=AE,∠∠B=∠∠E，，BC=ED AF⊥⊥CD求证：求证：点点F是是CD的中点的中点分析：要证分析：要证CF=DF可以考虑可以考虑CF 、、DF所在的两个三角形全等，为此可所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等添加辅助线构建三角形全等 ，如何，如何添加辅助线呢添加辅助线呢?已有已有AB=AE,∠∠B=∠∠E ，， BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？形全等呢？连结AC,AD 添添加加辅辅助助线线是是几几何何证证明明中很重要的一种思路中很重要的一种思路 证明：证明：连结ＡＣ和ＡＤ连结ＡＣ和ＡＤ∵∵在在△△ＡＢＣ和ＡＢＣ和△△ＡＥＤ中，ＡＥＤ中， ＡＢ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＥ， 　　∠∠B=∠∠E，， ＢＣ＝ＥＤＢＣ＝ＥＤ∴△∴△ＡＢＣＡＢＣ≌△≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）ＡＥＤ（ＳＡＳ）∴∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等）ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等）∵∵ＡＦＡＦ⊥⊥ＣＤＣＤ∴∴ ∠∠AFC=∠∠AFD=90°，， 在在ＲＲt△△AFC和和ＲＲt△△AFD中中 ＡＣ＝ＡＤ（已证）ＡＣ＝ＡＤ（已证） ＡＦ＝ＡＦ（公共边）ＡＦ＝ＡＦ（公共边）∴∴ＲＲt△△AFC≌ ≌ＲＲt△△AFD（（ＨＬＨＬ））∴∴ＣＦ＝ＦＤ（ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等））∴∴点点F是是CD的中点的中点如果把例如果把例4来个变身，聪明的同学来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！们来再试身手吧！已知已知:如图如图AB=AE,∠∠B=∠∠E，，BC=ED，点，点F是是CD的中点的中点 (1)求证：求证：AF⊥⊥CD (2)连接连接BE后，还能得出什么结论？后，还能得出什么结论？（写出两个（写出两个)课堂练习课堂练习练习三练习三练习二练习二练习一练习一练练 习习 三三已知：如右图，已知：如右图，AB、、CD相交于点相交于点O，，AC∥∥DB,OC = OD, E、、F为为 AB上两点，且上两点，且AE = BF.求证：求证：CE=DF.证明：证明：在在AOC 和和BOD中，中，∵∵ AC∥∥DB,∴∠∴∠A = ∠∠B ( 两直线平等，内错角相等两直线平等，内错角相等 ).又又∵∵ ∠∠AOC = ∠∠BOD（对顶角相等）（对顶角相等）∠∠A = ∠∠B ( 已证已证 ),OC = OD（已知）（已知） ∴∴ AOC ≌ ≌ BOD（（AAS）） ∴∴ AC = BD在在AEC 和和BFD中，中， AC = BD(已证已证),∠∠A = ∠∠B ( 已证已证 ),AE = BF（已知）（已知）. ∴∴ AEC ≌ ≌ BFD（（ASA）） ∴∴ CE = DF练练 习习 二二已知：已知：AB=AD，，CB=CD.求证：求证：AC⊥⊥BD.分析：欲证AC⊥⊥BD，，只需证∠AOB= ∠AOD，这就要证明 ABO ≌ ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证∠BAO= ∠DAO，为了证明这一点，还需证明ABC ≌ ADC.证明：证明： 在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD (已知），已知）， CB = CD（已知），（已知），AC = AC (公共边）公共边） ∴∴ ABC ≌ ≌ ADC（（SSS），）， ∴∴ ∠∠BAO = ∠∠DAO (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD (已知），已知）， ∠∠BAO = ∠∠DAO (已证），已证）， AO= AO (公共边）公共边） ∴∴ ABO ≌ ≌ ADO（（SAS），）， ∴∴ ∠∠AOB = ∠∠AOD (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） ∴∴ ∠∠AOB = ∠∠AOD= 90°. ∴∴AC⊥⊥BD(垂直定义）垂直定义）. 又又∵∠∵∠AOB + ∠∠AOD =180°(邻补角定义）邻补角定义）如右图，如右图，已知：已知：ABC的顶点和的顶点和 DBC的顶点的顶点A和和D在在BC的同旁的同旁, AB =DC, AC = DB, AC和和DB相交于点相交于点O.求证：求证：OA =OD.练习一练习一证明：证明： 在在ABC和和DCB中，中，∴∠∴∠A = ∠∠D (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).AB =DC(已知已知)，，AC = DB (已知已知)，，BC = CB (公共边公共边)，， ∴∴ ABC ≌ ≌ DCB（（SSS））在在AOB 和和DOC中，中，∠∠AOB = ∠∠DOC (对顶角对顶角)∠∠A = ∠∠D (已证已证) AB =DC (已知已知) ∴∴ AOB ≌ ≌ DOC（（AAS）） ∴∴ OA =OD. 归归 纳纳小结：小结：1、全等三角形的定义，性质，、全等三角形的定义，性质，判定方法。

判定方法2、证明题的方法、证明题的方法 ①①要证什么要证什么　　　　　　　　　　　　 ②②已已 有有什么什么　　　　　　　　　　　　　　　　 ③③还还缺什么缺什么缺什么缺什么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④④④④创造条件创造条件创造条件创造条件 3、添加辅助线、添加辅助线1 ①①如图，已知如图，已知△△ABCABC中，中，AEAE为角平分线，为角平分线，D D 为为AEAE上一点，上一点，且且∠∠BDE=∠CDE,BDE=∠CDE,求证：求证：AB=ACAB=AC ② ②若把若把①①中的中的“AEAE为角平分线为角平分线”改为改为“AEAE为高线为高线”，，其它条件不变，结论还成立吗？如果结论成立，请予以其它条件不变，结论还成立吗？如果结论成立，请予以说明。