应用四点向量定理与斯坦纳定理解题精编资料.docx

应用四点向量定理与斯坦纳定理解题应用四点向量定理与斯坦纳定理解题浙江省桐乡第二中学 范广法 314511 sdhzmdq@、四点向量定理与斯坦纳定理2 b2 / b)2对向量a,b有alb a 「一，从而CACB CA CB BACA CD CA CD DA ,2 2AC BD仅用aCbD aC（bC CD）CACB CAcd da2 cd2.这样数量积四边形ABCD的四条边AB, BC, CD,AD的长度表示，向量夹角余弦值这类式子不再充斥在表达式中•文［1］将* BD忒誌2器亦”称之为四点向量定理.考虑到ABC D四点的顺序，笔者的记忆方法是数量积等于 两外2两内2交叉2交叉2 .设直线AC, BD所成的角为 g < 2），则 cos ||AC||BD|AC BD | |AD2CD2|2| | |BD|，文［2］称acos2 2 ^^2 2|AD BC AB」CD | ”2|Ac||BD|为斯坦纳定理.、定理的应用1求数量积例1 在厶ABC中，AB2, AC 3, AB AC 2.若点 p满足 bP 2PC ，则AP BC解析由四点向量定理得22 9 即 |BC| 3，又 甘 2PC,从而 | BP| 2|PC | 2 ,| PB |,| PC | 不知.|BC|2 （AC AB）I iAp BC 4.点评 由四点向量定理直接写出数量积的表达式，省去转化成共点向量的数量积的麻仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2图1烦，特别是试题给出较多的线段长度的试题•变式1 如图1,在三棱锥中D-ABC中，已知AB=2, aC bD =-3.设AD=a, BC=b,2cCD=c,则茹的最小值为 .变式2在厶ABC中，AB= 2, AC = 4,点P为线段BC的垂直平分线上的任意一点,则2判断直线是否垂直由四点向量定理或斯坦纳定理得： AC BD成立的充要条件是aD2 bc2 aB2 cD2 .意即平面（或空间）四边形两对角线垂直等价于两组对边的平方和 相等.例2 （2012年浙江高考）已知矩形 ABCD, AB= 1, BC= 2 .将△ ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中,A .存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B .存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D .对任意位置，三直线“ AC与BD”，AB与CD ”，AD与BC”均不垂直解析 在矩形ABCD沿直线BD翻折过程中，四边及对角线的长度中只有 AC在变化.当没有折叠时AC最长，这时AC 3 ；当折叠180时AC最短，这时AC 二（可由平面3几何知识并结合图2推证），从而—< ACW 3 .对选项A,AC bD32CD )Ab CD1 2(AD2^(AD2 BC2 AC2 bD2)21，显然直线AC与直线BD不垂直；对选项B,1 7C2 所以当AC 1时直线AB与直线CD垂直，故2点评此题是借折叠问题考查空间想象能力及逻辑推理能力的压轴题，难度较大.但用 四点向量定理则将垂直关系转化为数量积问题，这样就转化成计算问题，问题简单多了.对于选项A，我们可得到任意的四边形在沿对角线折叠过程中的一个不变量，即两对角线对应向量的数量积aC bD保持不变.变式3 矩形ABCD中，AB = 2, BC = 4.将△ ABD沿矩形的对角线 BD折起到△ A'BD的位置，在空间四边形 A'BCD中，异面直线A'B与CD所成角的最大值为（）5A. - B. - C. — D. -4 3 2 123求两直线所成的角空间角能较好的集中考查学生的空间想象能力 （特别是与翻折问题结合在一起）,也是历年来高考必考的热点与难点之一.借助于四点向量定理、斯坦纳定理我们可以解决空间角（本文仅涉及两条异面直线所成的角、二面角）大小问题.图3例3 （2015年浙江高考）如图 3,在三棱锥 A-BCD中，AB= AC= BD = CD=3, AD = BC = 2,点M ， N分别为AD，BC的中点，则异面直线 AN，CM所成的角的余弦值是解析 易求得AN CM 2 2,NM 7，设直线AN，CM所成的角为2」72| AN| |CM | 8… TT iaM" nC2 Ac2； nm(0 w—)，贝U cos |cos AN,CM |2点评若用几何法，则要充分挖掘各线的位置及数量关系，添加辅助线，找到平面角,然后再计算.根据四点向量定理、斯坦纳定理仅要解决 AN,CM,NM的长度即可，有效降低试题难度，比几何法简单多了.变式4 在四棱锥M-ABCD中，MA丄平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a,试求异面直线 MB与AC所成的角.例4（2016年浙江高考）如图 4,已知平面四边形 ABCD, AB= BC = 3, CD = 1 , AD =药,ADC 90 .沿直线AC将厶ACD翻折成△ ACD ；直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 .解析：由四点向量定理得：云C ED AD bc Ab cd 2，即2AC BD^ 2 •设AC与BD'的夹角为（显然 为锐角，即异面直线AC与BD'所成角也是 ），贝U ,6|BD'|cos 2，当|BD'|最小时，AC与BD'所成角的余弦值最大.又cos ACD cos ACB即 ACD ACB，所以在翻折过程中|BD'|的最小值为BC CD' 2（此时△ ACD沿直线AC翻折180），cos的最大值为-1 •62）为背点评 此题以四点向量定理、斯坦纳定理及上面提到的不变量（景，考查了线线角，向量夹角及函数思想•只要得到-6|BD'|cos 2， |BD'|与COS 的函图5数关系立刻就显现出来，COS的最大值就不攻自破.与 传统作辅助线方法相比，难度与计算量都下降了很多.变式5 （2015年10月浙江学考）如图5,在菱形ABCD中，/ BAD=60°线段AD，BD的中点分别为E,F •现将△ ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（）A.(6,3) 叫辽]B. (6'2]D.(3,23)4求二面角图6下面再来看看用四点向量定理如何求解二面角.例5 （2015年浙江高考）如图 6，已知△ ABC，D是AB的中点，沿直 线CD将厶ACD翻折成△ A CD，所成二面角 A'CD-B的平面角为 a，则 （ ）A • Z A DB W a B./ A DB > aC • / ACBW a D • / A CB > a解析 如图6,作AF丄CD于 F，BE!CD于 E，D是AB的中点，故DE= DF.由题意得Fa^,Eb，则 COS A'DB COS D^,DB2 2 2 2 2DB DA' A'B 2EB 2ED A'B而coscosReB2，从而cos A'DBWcos ,再考虑到余弦函数在(0,)上的单调性， A'DB> ，选B.点评关键是/ A'DB等于的夹角，平面角a等于的夹角，然后再用四点向量定理解决两角余弦值的大小问题.参考文献：[1]刘才华•如何应用四点向量定理[J].数理天地(高中版)，2016 (5): 5-7.[2]邓赞武.余弦定理的向量式及其应用[J].数学通讯，2006 (13): 17-18.。