一单一正态总体均值的假设检验.ppt

一、单一正态总体均值一、单一正态总体均值μμ的假设检验的假设检验二、单一正态总体方差二、单一正态总体方差σ2的假设检验的假设检验三、两个正态总体均值的假设检验三、两个正态总体均值的假设检验四、两个正态总体方差的假设检验四、两个正态总体方差的假设检验第二节第二节 正态总体的假设检验正态总体的假设检验一、单一正态总体均值一、单一正态总体均值μμ的假设检验的假设检验1．已知．已知 时，总体均值时，总体均值μ 的假设检的假设检验验(1) μ的双边检验：的双边检验：设总体设总体X~N ( ,   2). X1 , X2 , … , Xn是取自是取自X的的样样本，本，样本均值样本均值 样本方差样本方差S2原假设原假设备择假设备择假设取检验统计量：取检验统计量：则拒绝域为：则拒绝域为：~N(0, 1)当当H0为真时，为真时，此时，因为此时，因为 是是μ0的无偏估计量的无偏估计量, 不应太大不应太大.P{拒绝拒绝H0|H0为真为真}所以所以即：即：由此知，拒绝域为：由此知，拒绝域为：推导：推导：(2) μ的单边检验：的单边检验：原假设原假设备择假设备择假设检验统计量：检验统计量：拒绝域为：拒绝域为：统计中把统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边检验（这里是区间检验（这里是区间 的两侧）的两侧）(a)（证明略）（证明略）原假设原假设备择假设备择假设检验统计量：检验统计量：拒绝域为：拒绝域为：统计中把统计中把拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单边检验（这里是区间边检验（这里是区间 的某一侧）的某一侧）(b) 这里由于使用的是服从正态分布的这里由于使用的是服从正态分布的 U 统计量来统计量来进行检验，也称为进行检验，也称为U 检验法（或正态检验法）。

检验法（或正态检验法）     0    0     0     0  <  0  >  0U 检验法检验法 ( 02已知已知)原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验     0    0     0     0  <  0  >  0T 检验法检验法 (  2 未知未知)原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验2．． 未知时，总体均值未知时，总体均值 μ 的假设检验的假设检验例例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标分，标准差为准差为15分，问在显著性水平分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在下，是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为这次考试中全体考生的平均成绩为70分？分？解：解：原假设原假设备择假设备择假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：n=n=36，， α α= =0.05，，所以接受所以接受H0，，在显著性水平在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试下，可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为中全体考生的平均成绩为70分。

分因为因为解解:原假设原假设备择假设备择假设由由σ2 =0.022知，检验统计量为知，检验统计量为拒绝域：拒绝域： 例例2.一台机床加工轴的椭圆度一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布服从正态分布N(0.095,0.022）（单位：）（单位：mm)机床经调整后随机取机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，算得根测量其椭圆度，算得 mm 已知总体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均总体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值有无显著降低？值有无显著降低？n=n=20，，α α= =0.05，，所以接受所以接受H0，， 在显著性水平在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴下，认为调整后机床加工轴的椭圆度的均值无显著降低的椭圆度的均值无显著降低.因为因为 例例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000 小时现从一批这种元件中随机抽取小时现从一批这种元件中随机抽取25 件，测其件，测其寿命，算得其平均寿命寿命，算得其平均寿命950小时，设该元件的寿命小时，设该元件的寿命X~N(μ,1002)，在显著性水平，在显著性水平0.05下下,确定这批元件确定这批元件是否合格？是否合格？解解:原假设原假设备择假设备择假设由由σ2 =1002知，检验统计量为知，检验统计量为拒绝域：拒绝域：n=n=25 ，， α α= =0.05，，所以拒绝所以拒绝H0，，在显著性水平在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格下，认为这批元件不合格.因为因为χ2 检验法检验法原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验1．已知．已知 时，总体方差时，总体方差σ2的假设检验的假设检验二、单一正态总体方差二、单一正态总体方差σ2 2的假设检验的假设检验当当H0为真时，为真时，P{拒绝拒绝H0|H0为真为真}所以所以拒绝域为：拒绝域为：推导（推导（双边检验情形）双边检验情形） ：：此时，因为此时，因为 是是σ2的无偏估计量的无偏估计量, 拒绝域应表现为拒绝域应表现为 偏小或偏大，偏小或偏大，χ2 检验法检验法原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验2. μ未知时，总体方差未知时，总体方差σ2的假设检验的假设检验例例4. 在生产线上随机地取在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值只电阻测得电阻值（单位：欧姆）如下：（单位：欧姆）如下：114.2，，91.9，，107.5，，89.1，，87.2，，87.6，，95.8 ，，98.4，，94.6，，85.4设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性水平水平α=0.1下方差与下方差与60是否有显著差异？是否有显著差异？解解:原假设原假设备择假设备择假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：n=n=10 ，，α α= =0.1，，所以接受所以接受H0，，因为因为即在显著性水平即在显著性水平α=0.1下，认为方差与下，认为方差与60无显著差异无显著差异.例例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，测根，测得得s=0.007欧姆欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，设总体服从正态分布，参数均未知，问在显著性水平问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？标准差显著地偏大？解解:原假设原假设备择假设备择假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：n=n=9 ，，α α= =0.05，，所以拒绝所以拒绝H0，，因为因为即在显著性水平即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显下，认为这批导线的标准差显著地偏大著地偏大.三、两个正态总体均值的假设检验三、两个正态总体均值的假设检验为取自总体为取自总体 N (  1    12 ) 的样本的样本,为取自总体为取自总体 N (  2    22 ) 的样本的样本,分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表示两样本的样本均值与样本方差且两总体相互独立。

且两总体相互独立  1   2 1   2  1   2 1    2 1 <  2 1 >  2U 检验法检验法原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验1．已知．已知 时，总体均值的假设检验时，总体均值的假设检验  1   2 1   2  1   2 1    2 1 <  2 1 >  2原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验2．． 未知，但未知，但 时，总体均时，总体均值的假设检验值的假设检验T 检验法检验法例例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：第一批：第一批：140，，138，，143，，142，，144，，137，，141第二批：第二批：135，，140，，142，，136，，138，，140.设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，试判断这两批学生的平均身高是否相等（试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。

解解:原假设原假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：备择假设备择假设α=0.10所以接受所以接受H0，，因为因为认为这两批学生的平均身高是相等的认为这两批学生的平均身高是相等的. .例例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育，从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选出锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高名，测得平均身高172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为态分布，其标准差分别为5.35cm和和6.11cm，问该校，问该校经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻炼的男生平均身高要高些？炼的男生平均身高要高些？ （（α=0.05 ））解解:原假设原假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：备择假设备择假设所以拒绝所以拒绝H0，，因为因为认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参加体育锻炼的男生平均身高要高些加体育锻炼的男生平均身高要高些.F 检验法检验法原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验1．已知．已知 时，总体方差的假设检验时，总体方差的假设检验四、两个正态总体方差四、两个正态总体方差的假设检验的假设检验F 检验法检验法原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域类型类型双边双边检验检验单边单边检验检验2．． 未知时，总体方差的假设检验未知时，总体方差的假设检验例例8.设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，经市场调查，分别抽取容量为经市场调查，分别抽取容量为21和和16的样本，得样本的样本，得样本均值分别为均值分别为650元和元和800元，样本方差分别为元，样本方差分别为802和和702，，能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。

第一家银行储户的平均年存款余额 （（ α α=0.10 ））解解:检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：（（1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差）先检验两家银行储户的年存款余额的方差有无显著性差异有无显著性差异原假设原假设备择假设备择假设α α=0.10=0.10所以接受所以接受H0，，因为因为认为两家银行储户的年存款余额的方差无显著性差异认为两家银行储户的年存款余额的方差无显著性差异.原假设原假设检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：备择假设备择假设（（2）再检验第二家银行储户的平均年存款余额是否）再检验第二家银行储户的平均年存款余额是否显著高于第一家银行储户的平均年存款余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额α α=0.10=0.10所以拒绝所以拒绝H0，，因为因为 认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额于第一家银行储户的平均年存款余额。