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专题 2 圆周运动及其应用【知识网络】1．本专题是动力学知识在圆周运动中的具体应用，掌握好圆周运动的概念和规律及处理方 法将加深对速度、加速度及其关系的理解，提高应用动力学知识分析解决问题的能力本专 题是处理带电粒子在电磁场中的运动的基础，与航天技术、人造卫星等高考热点密切相关 2．掌握描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量有：线速度、角速度、周期、频率（在圆周运动中相当于转速、） 向心力、向心加速度等要对每一个物理量的物理意义、大小、方向及注意点能透彻理解熟 练掌握例如：向心加速度⑴物理意义：在某一确定的圆周运动中描述线速度方向变化的快慢V 2 4 TT 2(2)大小：a = = w 2 r = 4兀 2 f 2r = rr T 2⑶方向：总是指向圆心，且时刻在变，不论a大小是否变化，总是一个变量⑷注意：a与r成正比还是成反比，要看前提条件，若3相同，a与r成正比；若v相 同，a与r成反比；若r相同，a与3成正比、与v也成正比3．匀速圆周运动⑴实例：卫星、电子绕核旋转、行星自转、圆锥摆、带电粒子在匀强磁场中的运动、带 电粒子在特殊的复合场（重力场、匀强电场、匀强磁场）中的运动等等2运动的性质：是线速度大小不变而方向时刻在变化的变加速曲线运动，是加速度大小 不变而方向时刻在变化的变加速曲线运动。
⑶加速度和向心力：由于匀速圆周运动速度大小不变，所以仅存在向心加速度（即法向 加速度），而切向加速度为零因此，向心力就是匀速圆周运动物体所受外力的合力⑷质点做匀速圆周运动的条件;合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心 4．非匀速圆周运动⑴实例：竖直平面内的圆周运动、重力场和匀强电场的复合场中的圆周运动 2特点：速度、向心加速度、向心力的大小和方向均时刻在变化，因而在利用公式求 圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小必须用该点的瞬时值⑶注意：高考考查的内容是非匀速圆周运动在特殊点或特定条件下的情况，不要求解 在任意点的问题5． 处理方法注意点⑴确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向例如随地球 转动的物体，其向心力不是指向地球球心，而是指向垂直地轴的方向2向心力不是和重力、弹力、摩擦力等相并列的“性质力”，而是根据效果命名的“效 果”力，所以在进行受力分析时，切不可在性质力以外再多加一个向心力⑶建立坐标系：应用牛顿第二定律解答圆周运动问题时，通常采用正交分解法，其坐 标原点是做圆周运动的物体（视为质点、原点位置和坐标轴方向随时间改变），相互垂直的 两个坐标轴中，一定要有一个轴的正方向沿着半径指向圆心。
6．圆周运动的临界问题 ⑴仅由细线系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在通过v2 最咼点时，如图所示有：F+mg = mR•••FNO H]gR , 即物体通过最高点的速度的临界值为v临=
r2⑵熟悉地球卫星运动随轨道半径变化的关系：随轨道半径的增大，卫星运动得越来举约为84分钟gR越慢，即线速度变小、角速度变小、频率变小、周期变大因而存在卫星做圆周运动的最大速度v = JgR，这就是第一宇宙速度；也存在最小运动周期，T .= max ▼ ° min【解题指导】例题1：如图所示，在半径为R的水平面圆板中心正上方h高处（O]点）水平抛出一 小球，圆板做匀速圆周运动，当半径OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，问： （1）若小球直接落到B点，则小球的初速度v0和角速度®各多大？ （2）若小球与圆板碰 撞一次再落到B点，且圆板光滑，不计碰撞中的机械能损失，则这 n时的v0和®又多大？〔解析〕（1）小球作平抛运动水平方向 R = v0t竖直方向h =丄gt2 解得v0 = R — ； t2 0 \ 2 h对圆板有t = nT = n —解得 w = 2nn ； （n = 1、2、3、 ）2 h（2）小球的初速度取临界值v0 = R 「时，恰沿O, — B抛物线运动，落在B点，当速度 0 V 2 h 1较小时可能与板碰撞多次后落在B点，恰与板碰撞两次的轨迹如图，其中O1—A为平抛, A一C的运动和O]—A的运动关于过A点的竖直线对称，C 点速度水平，C—B又为平抛运动，由于运动的对称性，不难t 总=%。
R—=v t3 00确定 tO1A = tAC = tCB = 3O1—A水平方向有竖直方向有h =- gt2 解得 v,2 2兀对圆板有T Nt，即3t0=蔦2 I g解得 w = nn ， （n =1、2、3、3 \ 2h〔点评〕本题涉及到两种运动：一是小球作平抛运动，二是圆板作匀速圆周运动，平抛 的小球从抛出到落到圆板上，其运动时间是确定的，但在这段时间内圆板转动的角度却有无 数种可能在解有关匀速圆周运动的问题时，要特别注意运动的重复性例题2：质量相等的两小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，杆在光滑的水平面上 绕另一端点O匀速转动，如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比〔解析〕隔离A、B球进行受力分析如图，由于两球角速度相同，设为w取指向圆心方向为正方向有对A球对B球两式相比解得F1－F2 = mw2LOAF2= mw2LOBF 3—1-=—F2〔点评〕本题是连接体和圆周运动综合应用问题，所以用隔离法进行分析列式时要注 意两个问题，一是一般取指向圆心方向为正方向，这样向心力一定为正，各个外力（或它的 分力）的正负，就看它和正方向是相同还是相反；二是要认准研究对象的轨道半径，本题易 犯的一种错误是，取AB系统为研究对象列出：F]=2mw2LOA，显然，此时系统的轨道半径 弄错了（应是AB两球重心到O点的距离，显然，求这一距离有一定难度）。
例题3： （1997年全国）一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比 细管的半径大得多）在管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量 为m],B球的质量为m2,它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A 球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点若要此时两球作用于圆管的合外力为零，那么 样 m1> m2、R 与 v0的关系式是 〔解析〕先求A球运动到最低点时，A球作用于圆管的力，为 此对A球进行受力分析在圆管最低点，A球受两个力的作用：重 力，大小为mg,方向竖直向下；圆管对它的弹力，大小方向待求, 设大小为N],方向竖直向上，如图b所示由牛顿第二定律得N1－m1g = m1v02/R ①v2得 N1 = m1 (g —) ②1 1 RN1>0说明圆管对A球和力向确是竖直向上的由牛顿第三定律, A球对圆管的力的大小为N],方向竖直向下再求 B 球运动到最高点时， B 球对圆管的力在最高点 B 球受 两个力作用：重力，大小为m2g方向竖直向下，圆管对B球的弹力, 大小方向待求，设大小为N2，方向竖直向上，如图c所示有 m2g－N2 = m2v2/R ③③式中v'是B球到最高点时的速度，由机械能守恒定律可得1m2V22 2 0可得 v2 = v 2 －4gR0由⑤③两式解得v2N2 = m2(5g )R由⑤式可知，V2大于4gR,否则B球不能运动到最高点。
由⑥式可知，如果5gR> V200>4gR,则N2>0,此时圆管对B球的力向竖直向上，大小为m2(5g —叮)；R如果 V2 > 5gR,0v2则N2<0,圆管对B球的力方向向下，大小为m2( 0 — 5gR)由牛顿第三定律B球在最高2 2 R点时，B球作用于圆管的力：v2若5gR > v2 >4gR,则方向竖直向下，大小为m2(5g );0 2 Rv2若V2 > 5gR，则方向向上，大小为m2( ° 5g)0 2 R显然要使A球运动到管的最低点，同时B运动到管的最高点时，两球对管的合力为零, 则B球对管的作用力N2方向应竖直向上，且与A球对管向下的作用力叫大小相等，即v2 v2m】(g+F)= m2(厂—5g)1 R 2 R化简后可得：m —m )V21 2 0/R＋(m1 ＋5m2g) = 0〔点评〕本题的解答详细讨论了 B 球在最高点受力的情况与其速度大小的关系，当受力 方向未知时，可以假定一个方向，由方程结果确定力的方向，这样处理问题的方法值得注意 其实对本题来讲，解法可以更加简捷，由于A球在最低点受弹力方向必然向上，所以A球 对圆管的作用力必向下，要使两球对圆管的合力为零，B球对圆管的作用力必向上，则圆管对 B 球的作用力向下，v2可直接列出N2+m2g = m2 一2 2 2 R例题 4：如图 a 所示，在匀强电场中一带正电的小球以某一初速度从绝缘斜面上滑下，并沿与斜面相切的绝缘圆轨道通过最高点。
已知斜面倾角为300，圆轨道半径为R,匀强电场水平向右，场强为E,小球质量为m,带电量为上込，不计运动中的摩擦阻力，则下3E球至少应以多大的初速度滑下？在此情况下，小球通过圆轨道最高点时对轨道的压力多大？〔解析〕如图b所示，"/tane = ―^— mge =300于斜面・•・带电小球所受重力和电场力F始终垂直 小球在斜面上做匀速直线运动，其中 F =mgcos 02、： 3mg3把小球看作处于一斜向下的等效力场F中，它在 圆轨道上运动的最小速度将出现在B点（AB为圆 轨道垂直于斜面的直径），为使小球能通过最高点 C,至少应刚能通过B点小球从A到B的过程中由动能定理有1 1—F • 2R = — mv 2 mv 22 B 2:FR由①②得：vA:A3 Rg此即为小球沿斜面下滑的初速度 3从B到C由动能定理有FR(1 —cos0 )=1 1—mv 2 mv 22 C 2 B••・v = ,：v 2 + (1 — cos 0 ) = 丫(3 — V3)空C B m mv2在C点处由牛顿第二定律有 N+mg = m LR可得： N=m mg = （3—t3）F—mg = （2^3 —3）mgR〔点评〕本题应用了等效力场来判断小球速度最小的位置，解题时应注意克服思维定势 与只有重力的情况区别开来，判断出小球速度最小点是B点而非C点。
另外，在C点的牛 顿第二定律方程，列出的是向心方。
