小学数学奥数方法讲义40讲(四).doc

第三十一讲 分解质因数法————————————————姚老师数学乐园广安岳池 姚文国通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）解：把1331分解质因数：1331=11×11×11答：这块正方体木块的棱长是11厘米例2 一个数的平方等于324，求这个数适于六年级程度）解：把324分解质因数：324= 2×2×3×3×3×3=（2×3×3）×（2×3×3）=18×18答：这个数是18例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数适于六年级程度）解：把462分解质因数：462=2×3×7×11=（3×7）×（2×11）=21×22答：这两个数是21和22例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数求ABC代表什么数？（适于六年级程度）解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239×7答：ABC代表239例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）=48×48正方形的边长是48米这块田地的周长是：48×4=192（米）答略例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）解：3250-10=3240（个）把3240分解质因数：3240=23×34×5接近40的数有36、37、38、39这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数23×34×5÷（22×32）=2×32×5=90答：这个幼儿园有90名小朋友例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可因为，105=3×5×7，所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

所以，105的约数共有4+3+1=8个例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等这三组数分别是多少？（适于六年级程度）解：将这九个数分别分解质因数：15=3×522=2×1130=2×3×535=5×739=3×1344=2×2×1152=2×2×1377=7×1191=7×13观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52和77；22、30和91；35、39和44例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）解：把5040分解质因数：5040=2×2×2×2×3×3×5×7由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数用八个质因数表示四个连续自然数是：7，2×2×2，3×3，2×5即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁例10 在等式35×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。

适于六年级程度）解：将已知等式的两边分解质因数，得：5×37×7×（    ）=22×36×7×（    ）把上面的等式化简，得：15×（    ）=4×（    ）所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填1515×（4）=4×（15）答略例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）解：把84分解质因数：84=2×2×3×7除了1和84外，84的约数有：2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42下面可根据不同的约数进行分组84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组一共有10种分法例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。

求这两组数适于六年级程度）解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同因此，首先应把八个数分解质因数14=2×7        143=11×1330=2×3×5    169=13×1333=3×11       4445=5×7×12775=3×5×5    4953=3×13×127在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个按这个要求每一组四个数的积应是：2×7×11×127×3×3×5×5×13×13因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米求这个长方形的长和宽适于五年级程度）解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。

根据题意列方程，得：x（x+6）= 315x（x+6）=3×3×5×7=（3×5）×（3×7）x（x+6）=15×21x（x+6）=15×（15+6）x=15x+6=21答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：（x-1）×x×（x+1）=210=21×10=3×7×2×5=5×6×7比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7答：这三个连续自然数分别是5、6、7例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）解：把1440分解质因数：1440= 12×12×10=2×2×3×2×2×3×2×5=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）=8×9×20如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：8×9=72，20×3+12=72正符合题中条件答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。

从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）解：由题意可知，母亲有三个儿子母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：33×1000+32×10=27090把27090分解质因数：27090=43×7×5×32×2根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：43×14×9×5这个质因式中14就是9与5之和所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁43-9=34（岁）答：母亲在34岁时生下第二个儿子第三十二讲 最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法 例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=642和48的最大公约数是6答：每个小组最多能有6名学生例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。

求出150和60的最大公约数：2×3×5=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）答：能分割成10个正方形例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数5×5=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米可以截成棱长是25厘米的小木块：3×7×13=273（块）答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。

例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米现在要把三根长绳截成长度相等的小段每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）解：此题实际是求三条。