全国通用高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书文新人教A版04.doc

第六节　对数函数————————————————————————————————[考纲]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.(　　)(2)当x＞1时，logax＞0.(　　)(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)A．a＞b＞c　　　　　　 B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD　[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是(　　) 【导学号：31222050】图2­6­1A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D　[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]　4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)A. B．(1，＋∞)C.∪(1，＋∞) D.C　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]5．(2017·杭州二次质检)计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________.2　　[2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝log2，所以2log43＝2log2＝.]对数的运算　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.　 B．10C．20 D．100(2)计算：÷100－＝________.(1)A　(2)－20　[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法]　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1]　(1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)A．24　　　　 B．16 C．12　　　　 D．8(2)(2015·浙江高考)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.(1)A　(2)－　3　[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24，故选A.(2)log2＝log2－log22＝－1＝－；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.对数函数的图象及应用　(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)A　　 　　B　 　　　C　　　　D(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．][规律方法]　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2]　(2017·西城区二模)如图2­6­2，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝(　　) 【导学号：31222051】图2­6­2A．2 B．3C. D.D　[由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m＋，n＋1)．又A，B两点均在函数y＝log2x＋2的图象上，故有解得m＝，故选D.]对数函数的性质及应用角度1　比较对数值的大小　(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(　　)A．logac＜logbc B．logca＜logcbC．ac＜bc D．ca＞cbB　[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．]角度2　解简单的对数不等式　(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0D　[法一：logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D.]角度3　探究对数型函数的性质　已知函数f(x)＝loga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]　假设存在满足条件的实数a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数.3分又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，7分f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即10分故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.12分[规律方法]　利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(九)　对数函数A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y＝的定义域是(　　) 【导学号：31222052】A．[1,2] B．[1,2)C. D.D　[由log(2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒＜x≤1.]　2．(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞cB　[因为a＝log23＋log2＝log23＝log23＞1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.]　3．若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是(　　)图2­6­3A　　　 　B　　 　　C　　　　DB　[由题图可知y＝logax的图象过点(3,1)，∴loga3＝1，即a＝3.A项，y＝3－x＝x在R上为减函数，错误；B项，y＝x3符合；C项，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；D项，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是(　　)A．5　　　　 B．3 C．－1　　　　 D.A。