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数学分析^p 知识点总结第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的根本性质． 教学重点： (1)理解并纯熟运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并纯熟运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．〔它们是分析^p 论证的重要工具〕 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．〔部分内容自学〕 教学程序： 引 言 上节课中，我们与大家共同讨论了《数学分析^p 》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开场，我们就根本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开场． [问题]为什么从“实数”开场． 答：《数学分析^p 》研究的根本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的〔后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数〕．为此，我们要先理解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 ． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”〔包括整数〕也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数其中，记；对于正整数那么记；对于负有限小数〔包括负整数〕，那么先将表示为无限小数，如今所得的小数之前加负号．0表示为 0＝ 例： ； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比拟实数的大小？ 2、两实数大小的比拟 1〕定义1给定两个非负实数，.其中为非负整数，为整数，．假设有，那么称与相等，记为；假设或存在非负整数，使得，而，那么称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，假设按上述规定分别有或，那么分别称为与〔或〕． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2〕 实数比拟大小的等价条件〔通过有限小数来比拟〕． 定义2〔缺乏近似与过剩近似〕：为非负实数，称有理数为实数的位缺乏近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位缺乏近似；位过剩近似.注：实数的缺乏近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有． 命题：记，为两个实数，那么的等价条件是：存在非负整数n，使〔其中为的位缺乏近似，为的位过剩近似〕． 命题应用 例1．设为实数，，证明存在有理数，满足． 证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，那么r为有理数，且 ．即． 3、实数常用性质〔详见附录Ⅱ．〕． 1〕封闭性〔实数集对〕四那么运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商〔除数不为0〕仍是实数． 2〕有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3〕传递性：，． 4〕阿基米德性：使得． 5〕稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6〕一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设，证明：假设对任何正数，有，那么． 〔提示：反证法．利用“有序性”，取〕 二、绝对值与不等式 1、绝对值的定义 实数的绝对值的定义为． 2、几何意义 从数轴看，数的绝对值就是点到原点的间隔 ．表示就是数轴上点与之间的间隔 ． 3、性质 1〕〔非负性〕； 2〕； 3〕，； 4〕对任何有〔三角不等式〕； 5〕； 6〕〔〕． 三、几个重要不等式 1、 2、均值不等式:对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式:即： 等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当且,且时,有严格不等式 证：由且 4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式 有 上式右端任何一项.［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3 §2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的明晰概念.教学要求： (1)掌握邻域的概念； (2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质〔确界原理〕.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新引 言 上节课中我们对数学分析^p 研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何有：(1)；(2) .〔〕 〔〕 2、证明：.3、设，证明：假设对任何正数有，那么.4、设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样考虑是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否详细问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差异，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容： 1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集； 3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理〔确界原理〕.一 、区间与邻域 1、 区间〔用来表示变量的变化范围〕 设且.，其中 2、邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ 〔1〕的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即 .其中 〔2〕点的空心邻域 .〔3〕的右邻域和点的空心右邻域 〔4〕点的左邻域和点的空心左邻域 〔5〕邻域，邻域，邻域 〔其中M为充分大的正数〕； 二 、有界集与无界集 1、 定义1〔上、下界〕：设为中的一个数集.假设存在数，使得一切都有，那么称S为有上〔下〕界的数集.数称为S的上界〔下界〕；假设数集S既有上界，又有下界，那么称S为有界集.闭区间、开区间为有限数〕、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集.假设数集S不是有界集，那么称S为无界集.等都是无界数集, 集合 也是无界数集.注：1〕上〔下〕界假设存在，不唯一； 2〕上〔下〕界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集的有界性.解：任取，显然有，所以有下界1； 但无上界.因为假设有上界M,那么M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取那么，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因此是无界集.例2证明：〔1〕任何有限区间都是有界集；〔2〕无限区间都是无界集；〔3〕由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：假设数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个).三 、确界与确界原理 1、定义 定义2〔上确界〕　设S是R中的一个数集，假设数满足：(1) 对一切 有〔即是S的上界〕; (2) 对任何，存在，使得〔即是S的上界中最小的一个〕，那么称数为数集S的上确界，记作 从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1 充要条件 1〕； 2〕.证明：必要性，用反证法.设2〕不成立，那么，与是上界中最小的一个矛盾.充分性〔用反证法〕，设不是的上确界，即是上界，但.令，由2〕，，使得，与是的上界矛盾.定义3〔下确界〕设S是R中的一个数集，假设数满足：〔1〕对一切有〔即是S的下界〕；〔2〕对任何，存在，使得〔即是S的下界中最大的一个〕，那么称数为数集S的下确界，记作.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 的充要条件： 1〕； 2〕＞0，＜ 上确界与下确界统称为确界.例3〔1〕那么 1 ； 0 .〔2〕那么 1 ； 0 .注：非空有界数集的上〔或下〕确界是唯一的.命题3：设数集有上〔下〕确界，那么这上〔下〕确界必是唯一的.证明：设，且，那么不妨设 有 对，使，矛盾.例： ， ， 那么有.开区间与闭区间有一样的上确界与下确界 例4设和是非空数集，且有那么有.例5设和是非空数集.假设对和都有那么有 证明：是的上界,是的下界, 例6和为非空数集,试证明: 证明：有或由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有 于是有.综上,有.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设 为数集.〔1〕的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.〔2〕非空有界数集必有确界(见下面确实界原理),但未必有最值.〔3〕假设存在,必有对下确界有类似的结论.4.确界原理: Th1.1(确界原理).设非空的数集.假设有上界，那么必有上确界；假设有下界，那么必有下确界.这里我们给一个可以承受的说明 非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，假如再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明：〔书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明〕不妨设中的元素都为非负数，那么存在非负整数，使得 1〕，有； 2〕存在，有； 把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得 1〕，有；； 2〕存在，使得． 再对开区间10等分，同理存在，使得 1〕对任何，有； 2〕存在，使 继续重复此步骤，知对任何，存在使得 1〕对任何，； 2〕存在，． 因此得到．以下证明． 〔ⅰ〕对任意，； 〔ⅱ〕对任何，存在使． ［作业］：P9 1〔1〕，〔2〕；　2； 4〔2〕、〔4〕；７ §3函数概念 授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念 教学目的：使学生深化理解函数概念.教学要求： 〔１〕深化理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法； 〔２〕牢记根本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析^p 初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析^p .教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序： 引 言 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的理解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义 １．定义１ 设，假如存在对应法那么，使对，存在唯一的一个数与之对应，那么称是定义在数集上的函数，记作 .数集称为函数的定义域，所对应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.即.２．几点说明 〔1〕函数定义的记号中“”表示按法那么建立到的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.〔2〕 函数有三个要素，即定义域、对应法那么和值域.当对应法那么和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的根本要素为两个：定义域和对应法那么.所以函数也常表示为：.由此，我们说两个函数一样，是指它们有一样的定义域和对应法那么.例如：1〕 〔不一样，对应法那么一样，定义域不同〕 2〕 〔一样，只是对应法那么的表达形式不同〕.〔3〕函数用公式法〔解析法〕表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域〔自然定义域〕.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法那么来表示一个函数.即“函数”或“函数”.。