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第四章 函数极限与连续函数第一节 一元函数的极限及其性质第三章介绍了数列极限，这一章，我们将叙述函数极限本节将函数极限分为函数在无穷远处的极限及在一点处的极限分别予以介绍一 函数在无限远处的极限类似数列的极限，如对于函数 ，当自变量 时，对应的函数值 无限接xfxxf近一个常数 是指当 无限增大时， 与 之差的绝对值无限接近于 0如当 无限增cxc大时，函数 无限接近于常数 0为此，我们有f1定义 4.1 对任意充分小的正数 ，总存在一个正数 ，当 时，Mx成立，则称 为函数 当 时的极限记为Cxf xf或Climf或者 xf的几何意义：Cxflim对于任意给定的 我们总可以找到正数 ，当 时，函数 的图像夹在0Mxxf两条直线 与 ，如图 4－1yy图 4-1有时候，我们并不需要考虑 的极限，只需考虑 或者 的极限xxx这样，我们有下列定义：定义 4.2 对任意充分小的正数 ，总存在一个正数 ，当 时，M成立，则称 为函数 在 时的极限记为Cxf xf或Cxlimcf或者 xf这时也称函数 在正无限远处极限存在，其几何意义见图 4－2。

xf图 4－2定义 4.3 对任意充分小的正数 ，总存在一个正数 ，当 时，Mx成立，则称 为函数 当 时的极限记为Cxf xf或Cxlimcf或者 xf这时也称函数 在负无限远处极限存在如图 4－3xf图 4－3例 4.1 证明 214limxn证明 任给 ，要使 ，即当 时0322x1232134xxx当 时， ，由 ，当且仅当 2x32244取 ，因此，对任意 ，存在这个正数 ，当 时，有4,maM0Mx，即 213x 2134limxn例 4.2 证明 (1) , (2) arctnliarctlix证明 我们只证明（1）式，对于（2）式，可以类似予以证明对于 ，要使02arctnx即使 t2上述不等式右半部对任意 都成立，因此只须考虑左半部 的变化范围不妨设xx，则 2 2tanx故对任意正数 ，取 ，当 时， ，所2tMM2arctnx以（1）式成立。

二 函数在一点的极限设 为函数 的定义域 的一个常数，现在讨论当 时，这里0xxfX0xx，函数 的变化趋势X定义 4.4 ( 定义)对于任意的 ，都存在 ，当 时，00x不等式 成立，则称 为函数 当 时的极限，记作Cxf xfCx0lim或者记为 0xf这时也称函数 在点 极限存在xf0说明：在定义中， “当 时，总有 ”表示只要 充分接近0xCxf x， 就会充分接近于 同时条件“ ”表明函数 在 点可能没有0xfC0f0定义，但函数 在点 存在极限，因此在考虑函数 在 点的极限时，我们并xf0xf不要求函数在 点有定义，只须 即可0x几何意义：函数 在 点的极限表示只要当 时，xf0 000,xxx曲线 总在两条直线 和 之间，或者说曲线 的图形在fyCyyfy矩形 abcd 内图 4－4例 4.3 设 ，证明13xf 31limxf证明 由函数极限定义，对任意 ，要找数 ，使得当 时，001xxf但是12312xf在函数极限定义只要求能够找到满足定义的 即可，不妨在 的 邻域来进行分析，这时 ，则 ，故1x0x4x12当 时， ，取 ，这时，当 时，就有41x1x4,min10x和 ，因此 成立。

从而结论得到了证明12x三 函数极限的性质定理 4.1 的充分必要条件是对任何以 为极限的数列 ，Cxf0lim0xnx，都有 0xnfn证明 必要性 由于 ，因而对任意的 ，都可以找到0xxf ，当 时，0xCxf对任意数列 且 ，对 ，可得正整数 ，当 时，nx0limnNn0xn又因为 ，故上面的不等式可改写为0xn0xn对于满足上述不等式的 ，其函数值 适合nxfCxn即当 时，这个不等式成立，即数列 以 为极限Nnf充分性 反证法 若 ，则对某一个 ，对任意的 ，都可xf0lim00以找到一个点 满足 ，使得 ，特别若取 为 ，x 0Cf L,312得到点列 ，满足L,,321LL030322 0101,,Cxfxxfx由上述左边一列可以看出， ，但右边一列说明数列 不以 为极限，0,nnxfC这与假设矛盾充分性得证这个定理给出了函数极限和数列极限之间得关系，此定理揭示了连续和离散变量变化之间的联系，也对某些函数极限不存在提供了一种有效的证明方法。

例 4.4 证明 不存在x1sinlm0证明 设 ，取两个趋于 0 的数列f21,21nban明显， ，而0,nba 12sinlm1sinllim0ililli bbfaafn由定理 4.1，知 不存在x1sil0定理 4.2 若对任意 内， ，并且0x0,xUxhgf，则 hxf00lili gxli证明 如果对任意数列 ，并且不妨假设 ，0,,xnn00,xUxn有 以及 ，由数列极限的性质得nxhgxfhf，故n0xxg定理 4.1 与定理 4.2 中的 换成 时，结论依然成立0,例 4.5 证明 lnlim00xx证明 对任意 ，要使 ，即 ，也就是0l 01lnx100exex取 ，当 时， ，故结论,1min0 0lnx成立例 4.6 证明 （ ）li0xa0证明 对任意 ，要使 ，即1x (4-1)1xa当 时，(4-1)式为 ，取 ，10alnln1ln,lminaa因此，任意 ，都存在 ，当 时，就有,miaa 0x。

即当 是， x 1l0x当 时，结论显然成立1a因此， li0xa例 4.7 证明 bxax00lim证明 当 时，结论显然成立下面假设 对任意 ，要使 ，即 ,取 因此，)()(0 0xaa对任意 ，都存在 ，当 时，都有 成立0a0x )()(0b即 bax00lim定理 4.3 设 是定义在 上的函数,且 都gxf, ,xUxgfx00lim,li存在,则1) gff xxx 000 lilili 2) g000 mm3) (分母不为 0)xffx00lili四 两个重要极限1. 1sinlm0x证明 因为 ,所以不妨假设极限中 .xsii 0x又 ,可以令 .0x2作单位圆如图 4-5， 图 4-5设圆心角 ，过点 作圆的切线 , 交圆于 由于20xAOCACABΔAOB 是扇形 AOB 的子集, 扇形 AOB 又是 ΔAOC 的子集.所以ΔAOB 的面积<扇形 AOB 的面积<ΔAOC 的面积即 ，两边同时除以 得 xxtan12sin12 xsin21cosi即 x由 及夹逼定理，得1coslim0xx 1inlm0x因此 成立。

in例 4.8 求 xx2si3l0解 因为 时， ，则0,12sinlm,13sinl00 xxxx 32sinl2sinl00 xxxx例 4.9 证明 1colim0x证明 对任意 ，因为当 时， ，所以0x2sinx2i1cos取 ，则对任意 ，都存在 ，使得当 时，都有0x 1cosx即 lim0x类似可以证明， snli0x2 判别 存在x1li证明 先讨论 得情形先证明 时( 为自然数)， 极限存在nnn1lim由二项式定理，有 L 321!!!11 nnnaknk!1! LL L nk2!21!31!2nnnk 1!LL同理11nna L12!31!2nnL1! kk12! nn1!1L比较上式两个展开式，容易看出 ，这说明数列 单调增加。

nana同时 ，表321212!1!321 1 nnnna LL明数列 有上界根据单调数列必有极限，故 存在,记为 .nn1lime为一个无理数，即eenn1li下面对于连续自变量 ，也有xxlim对任意实数 ，必存在自然数 ，使得 ，因此0n1n1从而 11nxn又 ennnn 1limlinn 11li1li因此， exxli当 时，令 ，则xt etttt ttt   11lim1li1lim1li综上所述，得exli在 中，如果令 ，则得到其另一种形式，即 ex1limt1ett10lim例 4.10 求 lni1x解 1ln1lnimlni1lim1  exxxx五 连续复利设某顾客向银行存入本金 元，年利率为 , 年后他在银行的存款总额是本金与利arN息之和。

且银行规定年复利率为 , 我们根据以下四种不同的结算方式，得顾客 年后的r N最终存款额1)每年结算一次时，第一年后顾客存款额为rs11第二年后顾客存款额为22 ar根据这样的递推关系可知，第 年后顾客存款额为NNNrss 1112）若取款的时间间隔为 ，即每月结算一次时, 复利率为 , 共结算 次，故221年后顾客存款额变为NNNras1213) 若取款的时间间隔为 ，即每年结算。