(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第7讲　解三角形应用举例及综合问题 (含解析).doc

第7讲　解三角形应用举例及综合问题一、知识梳理1．仰角和俯角在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．常用结论1．明确两类角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．解三角形应用题的一般步骤二、教材衍化1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________米．答案：502．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.解析：设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.答案：12一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√二、易错纠偏常见误区(1)仰角、俯角概念不清；(2)方向角概念不清；(3)方位角概念不清．1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．北偏西5° B．北偏西10°C．北偏西15° D．北偏西20°解析：选B．易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________答案：130°3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.解析：由题意画示意图，如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案：10考点一　解三角形应用举例(应用型)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．核心素养：数学建模角度一　测量距离问题 (2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．【解析】　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.【答案】　80解决距离问题的两个注意事项：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．　角度二　测量高度问题 (2020·吉林长春质量监测四)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)A．1 255步　　　　　　　　　 B．1 250步C．1 230步 D．1 200步【解析】　因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A．【答案】　A解决高度问题应注意的3个问题(1)要理解仰角、俯角的定义；(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　角度三　测量角度问题 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C．(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．【解】　(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，所以AC＝2.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，所以∠CAB＝45°.解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．　1．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　)A．正西方向 B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向解析：选C．如图：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有＝，AD＝＝24.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°.2．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA．在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，所以P，Q两点间的距离为900 m.答案：9003．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．答案：100考点二　求解几何计算问题(综合型)解决此类问题的关键是寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来． (一题多解)(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝，求BC的长．【解】　(1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，所以sin∠DAB＝.又0<∠DAB<，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos＝.由余弦定理得BD＝＝，由正弦定理得sin∠ABD＝＝.(2)法一：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝.在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)．故BC的长为.法二：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝.cos∠DBC＝cos＝sin∠ABD＝.sin∠BDC＝sin(π－∠BCD－∠DBC)＝sin＝cos∠DBC－sin∠DBC＝.在△BCD中，由正弦定理＝，可得BC＝＝＝.求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”，将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长．　　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.(1)求CD；(2)求∠ABC．解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，因为BC＝2，BD＝3＋，所以sin∠CBD＝.因为∠ABC为锐角，所以∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2。