数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系18-4.ppt

一、问题引入,二、拉格朗日乘数法,三、应用举例,条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.,数学分析 第十八章 隐函数定理及其应用,*点击以上标题可直接前往对应内容,问题引入,很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义,域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束.,例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试,问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积最小?,若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则,目标函数:,约束条件:,后退 前进 目录 退出,为简便起见, 记 并设,若存在,则称 是 在约束条件 之下的极小值,(或最小值) ,,类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.,设目标函数为,约束条件为如下一组方程:,称 是相应的极小值点 (或最小值点).,拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法探源,形说起, 即设目标函数与约束条件分别为,若由 确定了隐函数,标函数成为一元函数,求出稳定点,再由,先从 n = 2, m =1 的最简情,则使得目,在此点处满足,满足,这表示 的等值线,这又表示: 对于函数,在点 处恰好满足:,也就是说 , (2) 式是函数 在其极值点处所,满足的必要条件.,通过引入辅助函数 把条件极值问题 (1),转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.,由此产生了一个重要思想:,即,称此函数为拉格朗日函数, 其中 称,为拉格朗日乘数.,拉格朗日乘数法,目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数,对于前面定义中所设的一般,是该条件极值问 题的极值点, 且,则存在 m 个常数,在区域 D上有连续一阶偏导数.,设上述条件极值问题中的函数,若D 的内点,使得,注 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说明；,对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理23.19,中进行.,个方程的解:,为拉格朗日函数 (3) 的稳定点,,即它是如下,应用举例,定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法.,用这种方法先来求解本节开头给出的例题.,解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,,例如 代入目标函数后, 转而求解,的普通极值问题.,就无法进行了.,无法将条件式作显化处理时,此法,下面,并求解以下方程组:,现在作拉格朗日函数,为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得,两两相减后立即得出 再代入第四式,得,注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得,不等式的一种好方法 ).,(表面积) 的最小值:,消去 V 后便得不等式,于是有 其中,那就是具体算出目标函数,求解以下方程组:,为了计算方便，把目标函数改取距离的平方 (这是,等价的),,即设,由此又得,式, 继而得到: ( 这里 否则将无解 ),再代入条件,这是拉格朗日函数的稳定点.,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,最大值和最小值，所以,由于所求问题存在,分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b,,则椭圆面积为,(ii) 由方程 (4) , 此圆柱面关于坐标原点是对称的,,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线;,(iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的,,平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.,它与平面 相交得一椭圆, 试求此椭,圆的面积.,例3 已知圆柱面,所以此,解 由以上分析, 自原点至椭圆上任意点 ( x, y, z ),的距离 之最大、小值，,椭圆的长、短半轴.,类似, 但在具体计算策略上将有较大差异. ),并令,设拉格朗日函数为,就是该,( 说明: 本例的题型与例 2 相,对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x, y, z 后相加, 得到,借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得,这说明 的极值就是这里的 ( 即 的极值就是,消去 得到一个线性方程组:,它有非零解 ( x, y, z ) 的充要条件是,问题便转而去计算,为此先从 (5)－(8) 式,由前面讨论知道, 方程 (10) 的两个根 就是,的最大、小值, 即,说明 (i) 一旦由方程 (5) －(9) 能直接求得椭圆的,长、短半轴,,( x, y, z ) 了, 这使解题过程简单了许多.,于是,那就不必再去计算椭圆的顶点坐标,(ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题,,出纬圆半径 和纬圆面积,的法线与 l 夹角的余弦,先求出圆柱面的中心轴所在直线 l :,然后根据面积投影关系 最后求得椭圆,面积为,则需要,再求,还有平面,例4 设光滑封闭曲线,证明: 上任意两个相距最远点,处的切线互相平行, 且垂直于这,两点间的连线.,且,(ii) 在 上必有相距最远的点.,证 由于 是光滑封闭曲线, 所以满足:,(i) F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,,设 为 上相距最远的两点,,则点 为目标函数,在约束条件,之下的极大值点.,的稳定点. 从而满足,成为拉格朗日函数,于是由拉格朗日乘数法, 存在,前者表示,示,两点处的切线互相平行, 且垂直于,由前两式与后两式分别得到,后者表,所以 在,*例5 试求函数,在条件 下的最小值, 并由此导出相,应的不等式.,并使,解 设,由此方程组易得,都有,故存在,又设,上存在最大值和最小值.,f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在,又因 内部只有惟一可疑点,所以必定有,由于 为一有界闭集, 为连续函数,,而在 及 上,,的内部取得.,因此 f 在,经整理后, 就是 “调和平均不大于几何平均” 这,个著名的不等式:,最后, 在不等式,中, 用 代入,,就得到一个新的不等式:,证 设目标函数为,,*例6 利用条件极值方法证明不等式,约束条件为,下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.,为简单起见, 考虑 在,由于 为有界闭集, 为连续函数 , 因,此 在 上存在最大、小值.,这在 上 ( x = 0, 或 y = 0, 或 z = 0 ) 取得.,故有,稳定点,由前三式解出 代入第四式后得到,首先, 显然有,上的情形.,而,由此得到不等式,又因在 上满足 把它代入上式 ,,证得,注1 在用条件极值方法证明不等式时, 设置合适,的目标函数与约束条件是解决问题的关键.,本例来说 , 也可把上面的条件极大值问题改述为,条件极小值问题:,在条件 约束之下的极小值.,一个问题的这两种处理形式 , 俗称为目标函数与约,束条件在形式上的对偶性.,p.180 上的例3 同样也是对偶问题.,题的确切提法, 请参阅后面复习思考题的第 5 题.,对于,求目标函数,前面例5 和教材下册,有关对偶性问,注2 如何判断所得稳定点是条件极大 (小) 值点?,这有多种方法可供选用.,用的说理方式;,矩阵, 用极值的充分条件去判别, 只是计算过程十,分繁琐, 不如例5 的做法更加理性 ( 这是利用对偶,性带来的好处 ).,际意义说明所作判断的合理性.,例5 与例6 提供了两种常,教材下册 p.180 例3 通过计算黑赛,此外, 很多实际问题还可借助实,作出分析.,1. 例3 的解法对例2 是否适用? 请实践一下, 并,2. 把例4 关于光滑封闭曲线的命题推广至关于光,滑封闭曲面的情形, 并加以证明.,3. 例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用,于例5 ? 请说出理由.,4. 模仿例1, 例5 和例6, 用条件极值方法证明几个,以前熟知的重要不等式; 或者创立几个新不等式.,5. 以二元函数为例, 证明一个条件极值问题与它,的对偶问题是等价的. 即若函数,近旁满足连续可微性条件, 且,则有如下命题:,。