球面和圆柱面相等对应关系的研究.doc

1球面和圆柱面相等对应关系的研究杨道富 (黄河水利职业技术学院，河南 开封 475001)摘要：摘要：建立轴射圆柱面投影方法，研究轴射圆柱面投影下球面向圆柱面投影的理论，解决正 投影无法解决的复杂的旋转体投影问题用轴射圆柱面投影法的投影理论，建立球面和圆柱 面的一一对应关系，找出二者之间的某些几何规律，该投影下任意形状的球面投影到圆柱面 上是相等的，建立球面的轴射圆柱面投影定理，解决球面不规则计算问题 关键词：关键词： 轴射圆柱面投影；球面面积；圆柱投影面；投影方法；定理建立球体表面和圆柱面之间原本没有直接 关系对于球面投影和计算问题，一直是 用一些传统的公式或复杂的积分求解，还 仅限于规则球面计算现在采用一种新的 轴射圆柱面投影方法，建立球面和圆柱面 的一一对应关系，找出它们二者之间的某 些几何元素的对应规律，试图解决球面不 规则计算问题1 1 轴射圆柱面投影定理轴射圆柱面投影定理取直径相同的一球面和一圆柱面，假 想置球面在圆柱面内，圆柱侧面外切于球 体，这样两个旋转体的旋转轴恰好重合 假想从旋转轴线上射出一组光线，所 有光线都垂直于旋转轴线向四周辐射取 球面的外切圆柱面为投影面。

这样的投影 为轴射圆柱面投影法 用轴射圆柱面投影法将球面上任意形 状的一部分球面，投影到外切圆柱的侧面 上，在球面上的一部分不规则球面与其在 圆柱面上的投影面积相等如图 1 所示： 球面上任意一曲面 SA´在圆柱面 P 上的投影 SA相等，记为 SA´=SA. 定理：在轴射圆柱面投影下，任意形定理：在轴射圆柱面投影下，任意形 状的球面与其在外切圆柱面上投影面积相状的球面与其在外切圆柱面上投影面积相等等 此定理称为轴射圆柱面投影法下球面此定理称为轴射圆柱面投影法下球面 与圆柱面的等面积投影定理与圆柱面的等面积投影定理图 1 球面的轴射圆柱面投影图2 2 定理的证明定理的证明如图 2 所示，一球面被任意两垂直轴 向的水平平行平面切开（图示截面平面 P1，P2） ，然后又被两相交于旋转轴的截平 面 U1，U2 沿径向切开，所得球面面积为 SkSk在圆柱投影面上的投影面积为Δθ、Δh、R 之积与轴射投影相同下 面就证明 Sk与 Sk´的投影面积（Sk´=ΔθΔhR）相对应的关系2图 2 根据轴射圆柱面投影截取的单元体图欲求 Sk，需要建立积分公式，如图 3 所示，利用球面坐标进行积分，采用三组坐标面，其中：R=常数，θ=常数，φ=常 数。

把积分区域 Sk分成许多小区域，考虑由 θ、φ 各取得微小增量 dφ、dθ dφ 为 R 与 Z 轴之间的微小变化角，dφ 是绕 Z 轴旋转的微小变化角dφ、dθ 组成微小 四边形 ABCD，不计高阶无穷小，可把四边形看成纬线方向 AB = r dθ；经线方向 AD=Rdφ；其中 r= Rcosφ于是得dsk=AB·AD = r dθ·Rdφ = R2cosφdθdφ积分区域为：θ1≤θ≤θ2 ， φ1≤φ≤φ2，于是得： Sk=∫∫sk dsk = ∫∫R2cosφdθdφ = R2∫dθ∫cosφdφ = R2(θ2－θ1 )( sinφ2－sinφ1)图 3 单元体微分图图 4 单元体的径向剖面图 5 单元体的赤道剖面对上式进行讨论：由图 4、图 5 可知：有 如下关系：3sinφ2－sinφ1=(AA′/R)－(BB′/R)=(AA′－BB′)/R=Δh/R ∴ Sk=( R2ΔθΔh)/R= RΔθΔh式中 RΔθ 等于球面外切圆柱面被 U1，U2 所截外切圆柱上的弧长,Δh 等于 P1和 P2 所截球体外切圆柱侧面的高度，故Sk 在圆柱投影面上的投影面积为 RΔθΔh 。

其中 Sk为 0≤Sk≤4πR2图 1 中的 SA´可由∑SA代替，SA由∑RΔθΔh 代替： SA´=∑Sk= Sk1+ Sk2+ Sk3+ … + Skn SA=∑RΔθ1Δh1 + RΔθ2Δh2 + RΔθ3Δh3 + … + RnΔθnΔhn Sk1= RΔθ1Δh1 Sk2= RΔθ2Δh2----- Skn=RnΔθnΔhn∴SA´= SA即:在轴射圆柱面投影下,任意形状的球面 与其在外切圆柱面上投影面积相等3 3 定理推论定理推论(1) 直径相同、高度相同的球面面积与圆 柱侧面面积相等2) 直径相同的球面和柱面被垂直与旋转轴的两平行平面同时截切，所得二者原有 表面积相等3) 球带(或球冠)表面积等于大圆（赤道 圆）周长与球冠(或球带)高度之积4) 球面的两经线与两纬线包围面积等于 大圆（赤道圆）弧长与两纬线轴向高差之 积5)球瓣面积等于大圆（赤道圆）弧长与 球径之积4 4 结束语结束语轴射圆柱面投影法解决了球面投影和 面积计算问题，仅提供了球面几何图形中 的简化计算方法据此，凡是球面计算问 题均可解决，并在国防、航空、机械制造、 航海、交通、建筑工程等方面都应该有不 同程度的应用。

该新的投影方法，希望用于地图绘制， 这样绘出的地图，采用投影变形公式建立 地图与实际地面的关系，这种地图也可以 应用于军事或海上航行导航 该投影方法可以解决一些复杂旋转体 的图形表达、绘图和几何度量问题，例如 水轮机叶片、双曲螺旋线等，可以用平面 几何解决球面几何上的某些问题参考文献参考文献[1] H·Φ 切特维鲁新. 射影几何学[M]. 北京：高等教育出版社，1981. [2]樊映川. 高等数学讲义[M]. 上海：人民教育出版社，1979. [3]许松照. 画法几何及阴影透视[M]. 北京：中国工业出版社，1982.作者简介：杨道富（1956-） ，男，河南济源人，副教授，黄河水院学报编辑部主任，从事学报编辑和水利水电工程专业教学与设计工作，主要研究方向为工程图学和国际工程建设项目管理通讯地址：河南省开封市西门大街 115 号 黄河水院学报编辑部（475001）ydf560326@： 0378—3865202（宅） 0378—5978924（学报）。