微分中值定理的证明及运用.docx

摘 要微分中值定理是微分学的重要的基本定理，它可用于求极限，证明不等式 与等式，证明函数单调性等数学问题木文介绍柯西中值定理的多种证明方法及 运用其中证明方法有利用构造辅助函数证明；根据罗尔定理证明；利用坐标旋 转变换证明；利用闭区间套定理证明；利用反证法证明；利用达布定理证明；利 用复合函数证明；利用同增量性证明其应用发而为求极限；证明不等式；证明 单调性加深对柯西中值定理的理解，对学习微积分有巨大的指导意义关键词：柯西中值定理；证明；应用Proof and application of Cauchy mean value theoremAbstractThe differential mean value theorem is the basic theorem of differential calculus, it can be used to limit, to prove inequality and equality, to prove the monotonicity of functions as a mathematical problem. This paper introduces a variety of Cauchy mean value theorem proof method and application. Themethod of proof by constructing auxiliary function in proving; according to Rolle theorem proving; prove using coordinate rotation transform; with closed interval theorem proving; the reduction to absurdity; use of Darboux theorem proving; compound function is used to prove the same increment proof. Itsapplication to limit; to prove inequality; prove the monotonicity. To deepen theunderstanding of Cauchy mean value theorem, has great guiding significance to study calculus.Keywords： Cauchy mean value theorem proving; application；一引言微分中值定理是微分学的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗FI中值定理、 柯西中值定理和泰勒定理。

其中罗尔中值定理是最简单最特殊的微分中值定理, 其余中值定理的证明都也满足罗尔条件为出发点或落脚点所以文章开篇Z前介 绍罗尔微定理若函数/满足如下条件：(z) /在闭居间［a,列上连续;(“)于在开区间(a,b)内可导;(ni) /(a) = /(b)则 在(d,b)内至少存在一点歹，使得f (歹)=0给出和前面两者比较，柯西中值定理更 具有一般性木文主要是从多个角度介绍柯西中值定理的证明方法和若干应用 以便更好的认识微分中值定理二柯西中值定理的证明柯西中值定理的证明方法的探讨与研究历来是一个引人注口的问题常见 的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理证明但近年来，陆续冇作者给出了 一些新的证法或新的设想本文在查阅大量资料的基础上借鉴了而人的一些证明 思想，得岀关于这一定理的几种证明方法现给出柯西的微分中值定理设函数/和g满足(i)在［a.b］上都连续；(ii)在(a,b)上都口J导，(iii)厂⑴和g)不同时为零;(iv) g(d)Hg(b)则存在gw(a,b),使得g(g) g(b) — g(a)2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造一个辅助函数，使其满足 罗尔定理的条件。

我们对如何确定辅助函数的思路进行分析，可得出以下几种方 法2.1.1仿拉格朗日中值定理证明在拉格朗日中值定理证明中，我们引入辅助函数F(x) = /(x) —“(0)+(?一/⑷(―町］将x取的值b换成g(x)取的值g(a)、g(b),我们可引入辅助函数b — ci显然F⑴ 满足罗尔沱理的条件.F(b) = F(a),所也根据罗尔定理仏b)使得2.1.2反向分析法为了证明在仏◎内至少存在一点使等式 y=半成立，考 g[b)-g(a) g (歹)虑证明即皿)一册挣(皿戶故可考虑f(x)=o/Wba)满足罗尔定理条件，由此引入辅助函数 g(b)—g ⑷%)")一策黑使得厂心同理，也可考虑证明[g0)-g ⑷]厂⑷-[/3)-/(d)]g(0 = O成立，即[(g(") — g⑷)/(x) — (/@) — /(a))g(x)] |x<=0F(x) = [g(h)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)由此引入辅助函数F ⑴=[g 0)- g (a)]f ⑴-[f(b) -f(a)]g(x)使得 F = 02.1.3待定系数法证明设F(x) = kj (x) + k2g (x) + m ,其中心,k2, m彳寺定，其在(a,b)内任意点纟 处的导数具有形式kj^yk2g\^，因此可考虑使F⑴满足罗尔定理条件，从而确定F(x),令F(a) = F(b),得L加炸 g(巧-g(a)其中❻，k2为任意实数•故引入辅助函数：F(x) = kJ(x) + kl 壮 J K(x) + m ,其中k严0 , m为任意实数.2.1.4行列式法/⑴g⑴1 令 F(x)=/(a) g(a) 1f(b) g(b) 1显然化简发得到满足罗尔定理条件，利用函数辅助图像，由图1,知尸(兀)的几何意义为2倍三角形ABC的面积，显然有F(a) = F(b) = O其实，这样特征的儿何量还有，如弧AB上的点C到弦AB的距离，或 弧AB上的动点C到A、B两点的距离之和，所构造出的辅助函数均满足罗尔 立理条件,。

2.2利用坐标旋转变换柯西中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函 数，而是利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理.证明构造参数方程F =哄 a

2.3利用达布定理证明根据拉格朗日中值定理，我们易知有下列命题成立：设函数/(兀)在仏b)内可导, /(x)>0(/(x)<0)则/(x)在仏b) 内严格单调增加(单调减少)，卜•面证明柯曲中值定理构造辅助函数F (x) = ［g (&) - g (a)］/ (x) - ［/ (b) - / (a)］ g (x)显然F(x)在［a.b］ 连续，在仏b)内可导，且F(b) = F(a) o现要证明 3介仏b),使F (歹)=0 o若F 工0 ,则由达布定理知，对 Vgw(a,b),,F(g)nO恒成立或是F()50恒成立从而由命题知,F(x)在 (a,b)内严格单调，所也F0)hF⑷,与条件“ F(b) = F(a)v矛盾.故北w仏b),使得F (^) = 0,即马芈件塔成立.g (f) g(b)-g(a)2.4利用闭区间套定理证明柯西中值定理引理1 设函数/⑴在［恥］上有定义,且在xoe(a9b)处可导，乂 ｛［勺,禹］｝为一闭区间套，_Qlimtzn =lim/?n =x0，则z?T8 n—>co/(0J7(%)0” 一％引理2设f(x) , g(兀)在［a,h］上连续，则存在,且 勺_坷=+(b-a),使得于佝)-/*(再)_/(0)-于(a)~~ ■b｝ -ax b-a现在把引理2推广为：引理3设/⑴，g(x)在［a问上连续，且g(兀)是单射，则存在［坷,勺］u［a,b］, 且b} -a} =*(/?一a),使/(勺)一/(dJ = /(Z?) — /(d)g) — g(q) g(b) — g(a)下面证明柯西中值建理：证明：首先证明a,/3e[a,b],且qh0时,有g(Q)Hg(0)・若 g(Q)= g(0)由引理 2,存在[a/Juk，/?],且 0]-G]=*(0-q)使 g(0j-g(e)二 g(0) — g(Q)=o,/3\ — a、 [｝ — cc从而g(0i) = g(&i).在[a"]上再次应用引理2有，存在[也屈上国〃],冃02 -色=*(01 -⑦)，使g(02)-g@2)二 g(0j-gG)二 ,02 -P\ ~a\从而乂有g(02)= g(M)・反复利用引理2,最终可得到一个闭区间套｛[%,0“]｝，满足 lim(/?,/-6zn) = 0 ,且 g(0“)= g(%),由闭区间套眾理，存在w[a,0]u[d,b],使lim an - lim 0“ =歹•〃一＞8 介一＞8根据引理1得:Q(0 = lin/e)pa)=o,i A-勺这与条件宀⑴工0(色W(d,b))相矛盾•再根据引理3有，存在存在且肉=*(b_a)，/)-/(4)二/(")-/(d)g(bJ-gS) g(〃)-g ⑷反复利用引理3,类似与前而的证明，可得闭区间套｛[勺,禹]｝，满足 lim(仇-陽)= 0,且XToo、 z/仮)-/匕)二/(〃)—/(d) g(")-g(aj g(b)-g(d) •有闭区间套定理存在ce[a,b],使lima“ = hmbn - c.再由引理1有：L 」 n->co n—>oo/仇)-/仏)f (c)二]im S _% 二 lin/) —，仏)=/("⑷J(c) e gJ-g(d“)…g(")-g(aj g(b)-g(a)“ 一 an2.5利用反证法证明柯西中值定理引理1设于⑴与g(E在闭区间s问上连续,在开区间仏◎内可导，且g(x)HO,则存在[c,d]u[a,b],使得f ⑷-g 二 f(b)- f(a)g(d) — g(c) g(b)-g(a)下面证明柯西中值立理证明：不断的运用引理1,我们得到闭区间列｛［4山］｝(〃 = 12・・・,。

0满足⑴［%i也+i］＜=［色,乞］;/..、, b-a(11)仇一勺2〃(iii。