数列知识框架.docx

高中数学 第三章 数列 考试内容： 数列．等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式．考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决 简单的实际问题．(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决 简单的实际问题．§03. 数 列 知识要点1.⑴等差、等比数列:等差数列等比数列定义a 一 a = dn+1 na―n+1a—=q(q 主 0)递推公式a = a + d ； a =a + mda =a q ； a一 a qn-mn n-1 nm - nnn-P— m通项公 式a = a + (n 一 1)d n 1a =n^qn—1( aq 工 0)中项a + a：\'a aG 一 +(a a A 0)2n - k n+kn - k n+k(n, k e N *, n A k A 0)(n,k e N*,n A k A 0)前n项n和S = — (a + a ) n 2 1 nS = Vnajq - 11a 1 - qQa -a q z 宀、„ n(n — 1),n1 丄- 1 n (q > 2)S 一 na + d1 - q1 - qn 1 2重要性 质a + a = a + a (m, m n p qn, p,q e N*,a -ma = a - an p q(m,n,p,q e N*,m + n = p + q)m + n = p + q)等差数列等比数列)定义{a }为人-P o a - a 一 d(常数) n n+1 na{a }%G - P o ―吐1 一 q(常数) n an通项 公式a = a + (n-1) d= a + (n-k) d= dn n 1 k+ a -d1a 一 a qn-1 一 a qn-kn 1 k求和 公式n(a + a ) n(n -1) rs = 1 — = na + dn 2 1 2=dn2 + q -d)nS 一

推广：a 2 = a xan n-m n+m性质1若 m+n=p+q 贝 U a + a = a + am n p q若 m+n=p+q,则 a a = a am n p q2若｛k ｝成A.P （其中k e N ）则n n｛a ｝也为 A.Pkn若｛k ｝成等比数列（其中nk e N ）,则｛a ｝成等比数列n kn3.s ,s -s ,s -s 成等差数n 2 n n 3n 2 n列s , s - s , s - s成等比数列n 2 n n 3n 2 n47 a - a a - a z 、d = 1 = n （m 丰 n）n -1 m - na aqn-1 = —n , qn-m =——n-a a1 m（m 丰 n）5⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：① a 一 a = d（n > 2, d为常数）n n-1② 2 a = a + a （ n > 2）n n+1 n-1③ a = kn + b （ n, k为常数）.n⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：① a = a q（n > 2, q为常数，且丰0）n n -1② a2 = a - a （ n > 2， a a a 工 0 ）®n n+1 n-1 n n+1 n-1注①：i. b =、忑，是a、b、c成等比的双非条件，即b =总b、c等比数列.ii. b =<0C （ac>0）f为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. b = ±忆〜为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. b = ±"ac 且 ac 0〜为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个.③ a = cqn （ c,q为非零常数）.n④正数列｛ a ｝成等比的充要条件是数列｛ log a ｝( x A 1)成等比数列.s = a (n = 1)11s 一 s (n > 2)n n-1n x n⑷数列｛ a ｝的前n项和S与通项a的关系：ann n n n［注］:①a = a +(n- 1)d = nd +(a -d)( d可为零也可不为零〜为等差数列充要条件(即n 1 1常数列也是等差数列)一若d不为0,则是等差数列充分条件).②等差｛ a ｝前n项和s = An2 + Bn = n[-｝(d)n2+a -—1 1 2丿n一|可以为零也可不为零〜为等差的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数 列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列•(不是非零，即不可能有等比数 列)2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列， 其公差为原公差的 k2 倍Sk,Sk2k-Sk,S3kS奇 S 偶 an+1 'S偶② 若等差数列的项数为2 Jn en +)，则S偶一S奇=nd③ 若等差数列的项数为 2n -1( eN+ )，则 S =(2n- 1)a，2n -1 nn代入n到2n -1得到所求项数•3.常用公式：①1+2+3…+门=n^n +1)2② n(n + 1)2n +1)② 12 +2 2 +32 + …说 2 =6③13 +23+333「n(n +1" 2 ・・・n3 =2［注］:熟悉常用通项：9, 99, 999,…二 a = 10n -1 ; 5, 55, 555,…二 a = 5 10n -1 丿.n n 94. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则 每年的产量成等比数列，公比为1 + r .其中第n年产量为a(1 + r)n-1，且过n年后总产量为：a + a(1 + r) + a(1 + r)2 +... + a(1 + r)n-1 = _(1 + " ］.1-(1+ r)⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每 月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 + r)n元.因此，第二年年初 可存款：1 — (1 + r)a (1 + r )[1 — (1 + r )12] a(1 + r)12 + a(1 + r)11 + a(1 + r)10 +... + a(1 + r)=亠 (-丄-⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r 为年利率 .aG + r )m = xG + r++ x(l + r+ x n a U + r^ =xG + r)m — 1 ar G + rn x =5. 数列常见的几种形式：⑴a = pa + qa (P、q为二阶常数)—用特证根方法求解. n+2 n+1 n具体步骤：①!出特征方程x2 = Px + q( x2对应a ，X对应a )，并设二根x ,x② n+2 n+1 1 2右x工x可设a =c xn +c xn，右x = x可设a = (c +c n)xn ；③由初始值a ,a确定 1 2 n . 1 1 2 2 1 2 n 1 2 1 1 2c1,c⑵a = Pa + r(P、r为常数)—用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去 n n—1常数H转化为a = Pa + qa的形式，再用特征根方法求a :④a =c +c Pn-1 (公n+2 n+1 n n n 1 2式法)，c 1，c2由a 1，a2确定.①转化等差，等比:a +x=P(a +x)na = Pa +Px—xn x= n +1 n n +1 n②选代法：an=Pan—1+r=P(Pan—2+r)+r=rr…na = (a + )Pn—1 — = (a + x)Pn—1 — xn 1 P —1 P —1 1=Pn—1a+Pn—2 -r + + Pr + r③用特征方程求解：an+1 = Pan + 相减 n a 一a = Pa 一Pa na = (P +1) a 一Pa - a = Pa + r n+1 n n n —1 n+1 n n—1n n—15 •' ' I 型选代法推导结果：c = r，c =a + r ，a =c Pn—1 +c = (a + ‘ ) Pn—1 + ‘ -1 1—P 2 1 P—1 n 2 1 1 P—1 1—P6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为S，在d Y 0时，有最大值.如何确定使S取最大值时的nnn 值，有两种方法： 一是求使a > 0,a y 0，成立的n值；二是由S = dn2 + (a -d)n利用二次函数的性n n+1 n 2 1 2质求n的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法： 错位相减求和. 例如：1 丄,3 ,...（2n -1）2 4 2n⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两 个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d，d的最小公倍数.122.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于n$2的任意自然数 ,验证（上一）为同一常数。

2）通项公式法3）中项公式法:验证 aa - a n n -1n-12a 二 a + a (a2 = a a )n e N 都成立n+1 n n-2 n+1 n n+23.在等差数列｛ a ｝中，有关Sn的最值问题：（1 ）当a >0,d<0时，满足a n0m 的a <0m+1a < 0mam+1值在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用 （三）、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列项数 m 使得 s 取最大值. （2）当 a <0,d>0 时，满足m1等差、n 0的项数m使得sm取最小n n 12.裂项相消法:适用于其中｛ a ｝是各项不为0的等差数列，c为常n3）13 + 23 + …+ n 3 =2 n(n+1)I a a Jn n +1数；部分。