高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座 19排列组合二项式定理.docx

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座 19排列组合二项式定理 竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1．排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略． （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数． （4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间． （5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列． （6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔3C，这也就是方程个不同的盒子中的方法数应为板，把球分成4堆，分别装入411a?b?c?d?12的正整数解的个数．2．圆排列 A?{a,a,a, ,a}nr个元素排在一个圆环上，的个元素中，每次取出）由（1n231叫做一个圆排列（或 叫环状排列）． （2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列． A?{a,a,a, ,a}nr个不同的元素进行的（3）定理：在个元素中，每次取出n312r P n圆排列，圆排列 数为．r3．可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列． mn个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那在个不同的元素中，每次取出nmm个不同的元素中，么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从n mn．个元素的可重复的排列数为每次取出 4．不尽相异元素的全排列 pppn个元素相同如果个元素相同，又有个元素中，有个元素相同，…，又有s21p?p? ?p?nnn 个元素的全排个元素全部取的排列叫做不尽相异的（），这s12n!列，它的排列数是 p!?p!? ?p!s12．可重组合5p np,,2 ,1次的组合个元素，每次取出允许所取 的元素重复出现个元素，（1）从p n个有重复的组合．个元素取出叫从pr C?H n p）定理：从个元素每次取出．个元素有重复的组合数为：（2)n?(pn?16．二项式定理 n?kn?knk*bC(a?b)?aN?n）（1）二项式定理（．n0k?n?1项．（2）二项开展式共有rn?rr T?Cab0?r?nr?1） 竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1．排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略． （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数． （4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间． （5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列． （6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔3C，这也就是方程个不同的盒子中的方法数应为板，把球分成4堆，分别装入411a?b?c?d?12的正整数解的个数．2．圆排列 A?{a,a,a, ,a}nr个元素排在一个圆环上，的个元素中，每次取出）由（1n231叫做一个圆排列（或 叫环状排列）． （2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列． A?{a,a,a, ,a}nr个不同的元素进行的（3）定理：在个元素中，每次取出n312r P n圆排列，圆排列 数为．r3．可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列． mn个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那在个不同的元素中，每次取出nmm个不同的元素中，么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从n mn．个元素的可重复的排列数为每次取出 4．不尽相异元素的全排列 pppn个元素相同如果个元素相同，又有个元素中，有个元素相同，…，又有s21p?p? ?p?nnn 个元素的全排个元素全部取的排列叫做不尽相异的（），这s12n!列，它的排列数是 p!?p!? ?p!s12．可重组合5p np,,2 ,1次的组合个元素，每次取出允许所取 的元素重复出现个元素，（1）从p n个有重复的组合．个元素取出叫从pr C?H n p）定理：从个元素每次取出．个元素有重复的组合数为：（2)n?(pn?16．二项式定理 n?kn?knk*bC(a?b)?aN?n）（1）二项式定理（．n0k?n?1项．（2）二项开展式共有rn?rr T?Cab0?r?nr?1） 。