4-机械臂的雅可比(新).pptx
71页
工业机器人技术机电工程学院 黎萍 4.1 4.1 雅可比矩雅可比矩阵阵阵阵4.2 4.2 力雅可比力雅可比在位移研究的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系----雅可比矩阵4.3 4.3 雅可比的若干雅可比的若干问题讨论问题讨论问题讨论问题讨论4. 4. 操作臂的雅可比操作臂的雅可比 4.1 雅可比矩阵• 微分运动• 雅可比矩阵的定义及意义• 雅可比矩阵的构造• PUMA560的雅可比 4.1.1微分运动对机械手进行操作时，经常涉及到机械手位置或姿态的微小变化，这些变化可由描述机械手位置的齐次变换矩阵的微小变化来表示把对于一个坐标系的微分变化变换为对另一个坐标系的微分变化1.微分平移和微分旋转 4.1.1微分运动 4.1.1微分运动 4.1.1微分运动 4.1.1微分运动刚体或坐标系的微分运动矢量由微分移动矢量和微分转动矢量组成 4.1.1微分运动【例题】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为 4.1.1微分运动2.微分运动的等价变换经常需要将一个坐标系内的微小变化，变换为另一个坐标系的等效表达 4.1.1微分运动 4.1.1微分运动和广义速度 4.1.1微分运动和广义速度 4.1.1微分运动则相对坐标系{T}的微分运动为： 4.1.1微分运动【例题2】已知坐标系{A}和对基系的微分平移和微分旋转为 4.1.1微分运动相应地，广义速度的坐标变换为任意两坐标系 和 之间广义速度的坐标变换为 4.1.2雅可比矩阵的定义及意义 n自由度机器人的速度雅可比4.1.2雅可比矩阵的定义及意义 4.1.2雅可比矩阵的定义及意义刚体或坐标系的广义速度由线速度和角速度组成 【例】图示为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系:4.1.2 雅可比矩阵的定义及意义其微分 写成矩阵形式写成矩阵形式令令对对2R2R机器人，机器人，JacobiJacobi为为4.1.2雅可比矩阵的定义及意义 对于关节空间的某些形位 ，操作臂的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂的奇异形位。
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位 4.1.2雅可比矩阵的定义及意义当θ2=0°或θ2=180°，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因而处于奇异状态从几何上看，机械手完全伸直（θ2=0°），或完全缩回（θ2=180°）时，机械手末端丧失了径向自由度，仅能沿切向运动在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少 【例】如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m设在某瞬时θ1=30° ，θ2=60° ，求相应瞬时的关节速度4.1.2雅可比矩阵的定义及意义 解：对于平面2R机械手，逆雅可比可由上例中的J(q)的表达式求得：于是得到与末端速度 相应的关节速度反解为：4.1.2雅可比矩阵的定义及意义 4.1.3 雅可比矩阵的构造雅可矩阵J(q)既可被看成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可被看成是微分运动的线性关系 4.1.3 雅可比矩阵的构造(1) 矢量积法 对移动关节 对转动关节 表示手爪坐标原点相对于坐标系 的位置矢量在坐标系 中的表示zi表示坐标系i的z轴单位向量在基坐标系{0}中的表示 4.1.3 雅可比矩阵的构造(2）微分变换法 对于移动关节，连杆i沿Zi相对连杆i-1移动 ,相当的微分运动矢量为引起的手爪相应的微分运动为： 4.1.3 雅可比矩阵的构造(2）微分变换法 对于转动关节，连杆i相对连杆i-1绕坐标系{i}的 轴作为分转动 ,相当的微分运动矢量为引起的手爪相应的微分运动为： 4.1.3 雅可比矩阵的构造雅可比矩阵的第i列为（表示关节i微分运动引起的末端微分运动） 4.1.3 雅可比矩阵的构造微分变换法的步骤1）计算各连杆变换2）计算各连杆至末端连杆的变换3）计算 各列元素，第i列 由 决定 4.1.4 PUMA560的雅可比(1）用微分变换法 4.1.4 PUMA560的雅可比 4.1.4 PUMA560的雅可比(2）用矢量变换法 为了便于表示机器人手部端点的力和力矩（简称为端点广义力F ），可将 fn和nn合并写成一个6维矢量：各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式：4.2 力雅可比 末端执行器及各关节的虚位移末端执行器及各关节的虚位移 关节虚位移为dqi，末端执行器的虚位移为dX,4.2 力雅可比 假设发生上述虚位移时，各关节力矩为τi (i=1，2, … , n)，环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为–fn，和–nn。
由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出：对任意的δq，欲使dW =0成立，必有或写成 4.2 力雅可比 式中, JT表示手部端点力（操作力）和广义关节力（矩）之间的力传递关系,称为机器人力雅克比 机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置 4.2 力雅可比 若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则JT 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT4.2 力雅可比 4.2 力雅可比 是 阶矩阵，对于给定的 ， 的值域空间 表示关节运动所能产生的全部操作速度的集合当 退化，操作臂处于奇异形位 的零空间 表示不产生操作速度的关节速度集合，若不只含 ，则对于给定的操作速度，关节速度的反解无限多 4.2 力雅可比静力映射的零空间 表示不需要任何关节驱动力而能承受的操作力的集合，末端操作力由机构本身承受值域空间 表示操作力能平衡的所有关节矢量的集合。
若已知则有{T}{0}{0}{T}4.2 力雅可比 {A}{B}{B}{A} 根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系4.2 力雅可比 解：由前面的推导知【例】如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为 ，若关节无摩擦力存在，求力 的等效关节力矩 所以得：图3-18 关节力和操作力关系y0x0 【例】如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩 ，求这时作用在螺钉上的力和力矩 ) 解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时： 4.3雅可比的若干问题讨论雅可比的若干问题讨论 • 奇异性和灵巧度• 刚度和变形 4.3.1 奇异性和灵巧度1、速度反解2、雅可比的奇异性3、雅可比矩阵的奇异值分解4、灵巧性度量指标 1、速度反解 机器人在执行某一特定任务时，所需抓手独立运动参数的数目m随任务的性质而异，最多为6，有些则小于6。
独立运动参数的数目即为操作空间的维数m (操作手自由度) （1）当m＜n，且 是满秩时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为 ； （2）当m=n，且 是满秩的，称为满自由度； （3）当m＞n，机器人是欠自由度的 对于满自由度的机器人， 是方阵，一般情况下，可以反解出相应的关节速度 对于冗余度机器人，其雅可比的列数多于行数，即n＞m当 是满秩的时，冗余度为速度反解不唯一，其通解可表示为1、速度反解 2、雅可比的奇异性 操作臂的雅可比依赖于形位 ，关节空间的奇异形位 定义为操作臂 的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量 ，即满足 (4.35)相应的操作空间中的点 为工作空间的奇异点 如果如果希望工业机器人希望工业机器人手部在空间手部在空间按规定的速度按规定的速度进行作业进行作业，则，则应应计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。
但是，当雅可比的但是，当雅可比的秩不是满秩时，求解逆速度雅可比秩不是满秩时，求解逆速度雅可比J J –1 –1较困难，有时还可能出现较困难，有时还可能出现奇异解，此时相应操作空间的点为奇异点，无法解出关节速度奇异解，此时相应操作空间的点为奇异点，无法解出关节速度，机器人处于，机器人处于退化位置退化位置 机器人的奇异形位分为两类：（1）边界奇异形位： 当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的约束这时相应的机器人形位称为边界奇异形位2）内部奇异形位： 两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动，称内部奇异形位 机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失1或多个自由度不管机器人关节速度怎样选择, 手部也不可能动2、雅可比的奇异性 ★ 冗余度机器人对于避免碰撞，避开奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态性能会带来好处2、雅可比的奇异性 3、雅可比矩阵的奇异值分解 根据矩阵的奇异值分解理论，对操作臂在任意形位的雅可比 进行奇异值分解，即式中， ； ，为正交矩阵对角阵与雅可比矩阵 具有相同的秩 当 r < m 时， 的形式为式中， 是最大奇异值， 是最小奇异值。
3、雅可比矩阵的奇异值分解 4、灵巧性度量指标• 条件数Salibury和craig利用 的条件数作为评判stanford手爪理想尺度最优化的准则（矩阵求逆的数值稳定性）可以证明，条件数与奇异值的关系为：当 时，操作臂具有的形位称为各向同性，这时灵巧度最高，各奇异值相等 4、灵巧性度量指标v最小奇异值最小奇异值可作为控制所需关节速度上限的指标最小奇异值越大，操作臂终端对关节速度的相应越快 4、灵巧性度量指标v运动灵巧性指标Angeles和Rojas提出把最小条件数 的倒数作为度量操作臂灵巧性的指标实际上条件数只与中间的关节变量 ，可记为 4、灵巧性度量指标v可操作性Yoshikawa将雅可比与其转置之积的行列式定义为可操作性的度量指标当 时， ，当雅可比处于奇异形位时， ，操作臂的可操作性为0 4.3.2 刚度和变形操作臂的刚度是影响它动态性能和定位精度的主要因素产生变形的部位有连杆本身，连杆支承和关节驱动装置对大部分工业机器人而言，变形的主要来源是传动、减速装置和伺服系统整个驱动系统（包括传动减速机构）的刚度用一个弹簧系数 表示各关节的关节力(矩)可写成矩阵形式： 4.3.2 刚度和变形由于 严格正，所以 的逆 存在，称为关节柔度为操作臂的柔度矩阵（操作柔度），表示操作空间的力和变形之间的线性关系当雅可比矩阵 满秩， 的逆 存在，称为操作臂的刚度矩阵 4.3.2 刚度和变形当 退化，零空间 包含非零向量，其中的操作力 映射为零关节力矩，不产生任何变形，意味着这个方向的刚度无限大。
为了说明操作柔度矩阵 的物理特征，对其进行主变换，找出最大变形和最小变形方向对2R机械手，操作力矢量 ，相应的操作空间变形为 ，其操作手柔度矩阵为 4.3.2 刚度和变形由于 是正定对角阵， 为对称方阵，对某一 ，单位操作力引起的变形的大小与作用力的方向有关，最大变形和最小变形对应的方向为变形主轴单位操作力 约束条件求最大柔度和最小柔度所对应的主轴方向，即在操作力的约束条件下求(4.56)的条件极值，引入拉格朗日算子，定义拉格朗日函数： 4.3.2 刚度和变形(4.56)的条件极值存在的必要条件是:由此可见，拉格朗日乘子 为平方柔度矩阵 的特征值，最大柔度和最小柔度对应的方向即为特征向量方向，因此问题归结为求 的特征值和特征向量，解方程(4.58)，可得到最大最小特征值 4.3.2 刚度和变形解方程(4.58)，可得到最大最小特征值 由特征方程(4.58)可得出操作臂末端变形的模方为因此最大与最小变形分别为 ，对应的特征向量方向，互相正交，称为主方向。
选这两个方向为坐标轴，操作柔度矩阵相对于主坐标系表示时，将变为对角阵 4.4 误差标定与补偿v通常将参数误差分为两类：wa. 关节变量误差，wb. 固定参数误差v“小误差模型”是指连杆变换的微小误差（包括位置误差和方位误差）可由连杆参数的微小偏差进行建模v对于标定而言，可以只测量参考点的直角坐标位置，也可同时测量参考点的位置和方位v相邻连杆坐标系的运动关系由四个参数 描述 4.4 误差标定与补偿v对不符合小误差模型条件的情况，Hayati增加一个新的误差参数v利用这一连杆变化及相应的运动学方程，可得到操作臂末端在操作空间的位置误差和方位误差分别为 4.4 误差标定与补偿v根据测量结果，可得到观测方程 4.4 误差标定与补偿 连杆参数误差标定算法如下： （1）初始化，将连杆参数值调至名义值； （2）计算微分移动d（和微分转动 ）及相应的矩阵 ，根据名义值和测量的位置（和方位）数据，得到观测方程组； （3）用最小二乘法解不相容的观测方程组，得运动参数误差估计 x； （4）根据连杆误差向量 x的各分量，修改连杆参数值 （5）转向（2），直至所得的连杆误差向量x的各分量都小于某一最小值； （6）连杆运动参数误差则为其初始名义值与最后所得到的值之差。
4.4 误差标定与补偿 4.4 误差标定与补偿微分误差变换补偿算法基于假设在末端期望位置 附近，正确位置 与期望位置之差 (微分误差变换)随关节变量的微小变化不致引起巨大改变. 微分误差变换补偿算法如下： （1）利用名义关节解，估计预期位置（ ）对应的关节变量； （2）对于上面所得的关节变量，考虑到除关节变量误差之外的所有运动误差，计算正确位置（ ）； （3）计算微分误差变换 ； （4）计算名义位置 ； （5）利用使操作臂到达 的 ，计算名义关节角解； （6）使臂转动的关节变量值为上步（5）所得之值与标定时所得到的关节变量误差之差4.4 误差标定与补偿 。
