高中数学高考提分常用公式及结论汇总.pdf

高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1.1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A, , U xC AxA. . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardA cardBcard AB ()()card ABCcardA cardBcardCcard AB ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. . 5 5集合集合 12 , n a aa的子集个数共有的子集个数共有2n个；真子集有个；真子集有2n1 1 个；非空子集有个；非空子集有2n1 1 个；个； 非空的非空的真子集有真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x 11 ( )f xNMN . . 8.8.方程方程0)(xf在在),( 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()( 21 kfkf不等价不等价, ,前者是后者的前者是后者的 一个必要而不是充分条件一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 ),( 21 kk内内, ,等价于等价于0)()( 21 kfkf, ,或或0)( 1 kf且且 22 21 1 kk a b k , ,或或0)( 2 kf且且 2 21 22 k a bkk . . 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 处及区间的处及区间的 两端点处取得，具体如下：两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 a0a0 时，若时，若qp a b x, 2 ，则，则 minmaxmax ( )(), ( )( ), ( ) 2 b f xff xf pf q a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ), ( )f xf pf q， minmin ( )( ), ( )f xf pf q. . (2)(2)当当 aa0a0) ) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a； （2）0)()(axfxf， 或)0)( )( 1 )(xf xf axf， 或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x , 或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a； (3)0)( )( 1 1)( xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则)(xf 的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a； (6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,am nN ，且1n ）. (2) 1 m n m n a a （0,am nN ，且1n ）. 3131根式的性质根式的性质 （1）()n n aa. （2）当n为奇数时， nn aa； 当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsr s aaaar sQ . (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 a p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质， 对于无理数指数幂都适用. 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b aN baN(0,1,0)aaN. . 3434. .对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m (0a ,且1a ,0m n ,且1m ,1n , 0N ). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 36.36.设函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m ,记acb4 2 .若)(xf的定义域为R,则 0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检 验. 37.37. 对数换底不等式及其推广 若0a ,0b ,0 x , 1 x a ,则函数log () ax ybx (1)当ab时,在 1 (0, ) a 和 1 ( ,) a 上log () ax ybx为增函数. (2)当ab时,在 1 (0, ) a 和 1 ( ,) a 上log () ax ybx为减函数. 推论:设1nm，0p ，0a ，且1a ，则 （1）log()log m pm npn . （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn . 38. 38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N， 平均增长率为p， 则对于时间x的总产值y， 有(1)xyNp. 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 4040. .等差数列的等差数列的通项公式通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1* 1 1 () nn n a aa nN q ； 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . . 4242. .等比差数列等比差数列 n a: : 11 ,(0) nn aqad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn nd q s dqd bn q q . . 4343. .分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 4444常见三角不等式常见三角不等式 （1）若(0,) 2 x ，则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x ，则1sincos2xx. (3) |sin |cos | 1xx. 4545. .同同角三角函数的基本关系式角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= = cos sin ，tan1cot. . 4646. .正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s , s() 2 ( 1)sin , n n co n co 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsin; ; tantan tan() 1tantan . . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 22 sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22 cos()cos()cossin. . sincosab= = 22 sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决 定,tan b a ). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin2sincos. . 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin . . 2 2tan tan2 1 tan . . 49. 49. 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sin sin()sin() 33 . . 3 cos34cos3cos4cos cos()cos() 33 . . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33 . . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0， 0)的周期 2 T ； 函数tan()yx，, 2 xkkZ (A,为常数， 且 A0， 0)的周期T . 5151. .正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . . 5 52 2. .余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA; ; 222 2cosbcacaB; ; 222 2coscababC. . 5353. .面积定理面积定理 （1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. (3) 22 1 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB . 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. 55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1) k xaxka kZa . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZ a. . tanarctan (,)xaxka kZ aR. . 特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)() k kkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ . . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ . . tan()(arctan ,), 2 xa aRxka kkZ . . tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ . . 57.57.实数与实数与向量的积的运算律向量的积的运算律 设、为实数，那么 (1) 结合律：(a)=()a; (2。