1977年普通高等学校招生考试（江苏省）数学试题含答案.pdf

1977 年普通高等学校招生考试数学 江苏省 试题及答案 1 1 计算 8 27 14 3 10 1 4 1 2 2 1 02 2 1 解 原式 99 奎屯 王新敞 新疆 2 求函数 5lg 3 1 2x x xy 的定义域 奎屯 王新敞 新疆 解 根据题意 得 3 5 2 03 05 02 x x x x x x 故函数的定义域为 5332 xx和 3 解方程 1255 2 2 xx 解 原方程即 55 32 2 xx 1 3 32 2 均为原方程的解 xx xx 4 计算 3 3 3 33 3loglog 解 原式 33log 3log 27 1 log 3 loglog 3 333 27 1 33 5 把直角坐标方程9 3 22 yx化为极坐标方程 奎屯 王新敞 新疆 解 原方程可展开为 996 22 yxx cos6 cos60 0cos6 06 2 22 即 或 yxx 6 计算 321 lim 2 n n n 解 原式 2 1 2 1 lim 2 1 lim 2 n n n nn nn 7 分解因式 4832 224 yyyxx 解 原式 2222 22 yyx 23 2 22 22 22 22 yxyx yyxyyx 3 过抛物线xy4 2 的焦点作倾斜角为 4 3 的直线 它与抛物线相交于 A B 两点 奎屯 王新敞 新疆求 A B 两点间的距离 奎屯 王新敞 新疆 解 抛物线xy4 2 的焦点坐标为 1 0 所作直线方程为 1 1 4 3 xyxtgy 或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定 016 4 1 4 1 22 2 xxxx xy xy 解得 由根与系数关系 得 x1 x2 6 x1x2 1 又解得 044 1 4 22 yyyy y1 y2 4 y1y2 4 由两点间距离公式 2 21 2 21 yyxxd 但 324364 21 2 21 2 21 xxxxxx 83232 3216164 21 2 21 2 21 d yyyyyy 故 AB 两点间距离为 8 奎屯 王新敞 新疆 3 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 0 CD CE 分别为斜边 AB 上的高 和中线 且 BCD 与 ACD 之比为 3 1 求证 CD DE 奎屯 王新敞 新疆 证 A ACD A B 90 0 ACD B 又 CE 是直角 ABC 的斜边 AB 上的中线 CE EB B ECB ACD ECB 但 BCD 3 ACD ECD 2 ACD 2 1 ACB 2 1 90 0 450 EDC 为等腰直角三角形 CE DE 奎屯 王新敞 新疆 4 在周长为300cm的圆周上 有甲 乙两球以大小不等的速度作匀速 圆周运动 奎屯 王新敞 新疆甲球从A点出发按逆时针方向运动 乙球从B点出发按顺时针 方向运动 两球相遇于C点 奎屯 王新敞 新疆相遇后 两球各自反方向作匀速圆周运动 但这时甲球速度的大小是原来的 倍 乙球速度的大小是原来的一 半 以后他们第二次相遇于D点 奎屯 王新敞 新疆已知AmC 40厘米 BnD 20厘米 求ACB 的长度 奎屯 王新敞 新疆 解 如图设 BC x 厘米 奎屯 王新敞 新疆甲球速度为 甲 v 乙球速度为 乙 v 奎屯 王新敞 新疆根据二次从出发 到相遇二球运动的时间都相同 可得第 一次等候时方程 40 40 x v v v x v 乙 甲 乙甲 或 第二次等候时方程 280 20 4 2 1 20 2 20300 x x v v v x v x 甲 乙 乙 甲 或 由此可得 280 20 4 40 x xx 0 80 40 xx C A D E B A 甲 乙 D m n C B 由于已知条件 甲 v 乙 v x 40 x 80 厘米 ACB 40 80 120 厘米 5 1 若三角形三内角成等差数列 求证必有一内角为 60 0 奎屯 王新敞 新疆 证 设三角形三内角分别为 dd 则有 60 1803 180 dd 2 若三角形三内角成等差数列 而且三边又成等比数列 求证三 角形三内角都是 60 0 奎屯 王新敞 新疆 证 由题 1 可知 此三角形必有一内角为 60 0 今设其对边为 a 则三角形的三边分别为aqa q a 此处q为公比 且0 q 由余弦定理可得 02 1 2 1 2 1 1 60cos2 2 2 2 2 222 q q q q q a aq q a a 1 1 1 1 0 1 22 舍去不合题意 q q q 由1 q可知 此三角形为等边三角形 三个内角均为 60 0 奎屯 王新敞 新疆 6 在两条平行的直线 AB 和 CD 上分别取定一点 M 和 N 在直线 AB 上 取一定线段 ME a 段 MN 上取一点 K 连结 EK 并延长交 CD 于 F 奎屯 王新敞 新疆试 问 K 取在哪里 EMK 与 FNK 的面积之和最小 最小值是多少 解 过点 K 作两条平行直线的公垂线 PQ 设 PQ l MN m 令 PK x 则 KQ xl EMK FNK NK MK NF ME 又 MKP NKQ KQ KP NK MK 于是得到 KQ KP NF ME x xla KP KQME NF 从而 EMK 与 FNK 的面积之和为 12 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 22 2 l x l xa x l lxa x llxxa x xl x a x xla xlaxA 2 2 0 2 时也即时当lx x l x A 有最小值 12 al lx 2 2 表示点 K 到直线 AB 的距离为 2 2 倍的 PQ 从而点 K 到 M 的距 离也为 MN 的 2 2 倍 即 KM 2 2 MN P M E A B K C D F N Q 附加题附加题 1 求极限 1 limxxx n 解 原式 xx xxxxx n 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 1 lim 1 lim x xx x nn 2 求不定积分 1 2 x e dx 解 令 1tex 则 1 dxtdxedt x 1 t dt dx 1 1 1ln 1 1 1ln ln 1 ln 1ln 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 22 C e ex C e ee C t tt dt ttt dt ttt tt dt e dx x x x xx x 。