计量地理学电子教案3-7.pdf

1 计量地理学电子教案3-7 第七节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件 发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度这就是对于事件发生的概率预测马尔可夫 (Markov) 预测法，就是一种预测事件发生概率的方法它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻(或时期 )变动状况的一种预测方法马尔可夫预测法是对地理事件进行预测的基本方法，它是地理预测中常用的重要方法之一一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测方法在地理学中的 应用，下面介绍几个基本概念1．状态、状态转移过程与马尔可夫过程 简介如下：(1)状态在马尔可夫预测中， “状态”是一 个重要的术语所谓状态，就是指某一事件在2 某一时刻（或时期）出现的某种结果一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式例如：在商品销售预测中，滞销一般畅销 三种状态；在农业收成预测中，歉收平收丰收 三种状态；在人口构成预测中，年，老年，婴儿，儿童，少年，中等状态；在经济发展水平预测中，三种状态落后，较发达，发达，在天气变化预测中，晴天，阴天，雨天等状态。

2)状态转移过程 事件的发展，从一种状 态转变为另一种状态，称为状态转移譬如，天气变化从 “晴天” 转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天” ，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移3）马尔可夫过程 在事件发展过程中，若每次状态转移都可以仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是后无效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程许多地理事件发展过程的状态转移是具有后无效性的，对于这样一些事件3 发展过程就可以用马尔可夫过程来描述2.状态转移概率 与状态转移概率矩阵1)状态转移概率在事件的发展变化过程 中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率根据条件概率的定义，由状态Ei转为状态 Ej的状态转移概率 p(Ei → Ej)就是 条件概率 p(Ej／Ei)，即p(Ei→Ej)=p(Ej/Ei)=pij (3.6.1)(2)状态转移概率矩阵 假定某一个事件的发 展过程有 n 个可能的状态，即E1,E2,, ， En记pij为从状态 Ei转变为状态 Ej的状态转移概率， 则矩阵pppppppppPnnn2n12n22211n1211( 3.6.2) 称为状态转移概率矩阵。

如果某一事件目前处于状态Ei，那么在下一个时刻，它可能由状态Ei转向 E1,E2,,,En中的任何一个状态所以pij满足条件：4 n1jijijn),,2 , 1j(i1pn),, 2, 1j ,(i1p0，( 3.6.3) E1E2⋯ En E1 E2 ⋯ EnP11p12 ⋯ p1n P21 p22p2n ⋯ pn1pn2pnn 也就是说， 可能性有多种，但结果只有一个，即不能同时转移到两个状态上去一般地，将满足条件式 (3.6.3)的任何矩阵都称为 随机矩阵， 或概率矩阵 不难证明， 如果 P为概率矩阵，则对于任何整数m>0，矩阵 pm都是概率矩阵如果 P 为概率矩阵，而且存在整数m>0， 使得概率矩阵Pm中诸元素 皆非零 ，则称 P 为标准概率矩阵 可以证明，如果P 为标准概率矩阵，则存在非零向量α =[x1,x2,,, xn]，而且xi 满足：1x0i, 1xn1ii使得α P=α(3.6.4) 这样的向量α称为 平衡向量， 或终极向量 这就是说， 标准概率矩阵一定存在平衡向量5 (3)状态转移概率矩阵的计算计算状态转 移概率矩阵P， 就是求从每个状态转移到其他任何一个状态的状态转移概率Pij（i， j=1， 2， ,, ，n） 。

为了求出每一个Pij，一般采用 频率近似 概 率的思想 进行计算A． 存在平衡向量，列向量或行向量如1pn1j1j1pn1ii1B．这里的矩阵不是对称的，即从E1→E2 的概率 p12不等于 E2→E1的概率 p21. 例 1：考虑某地区农业收成变化的三个状 态，即“丰收”、 “平收”和“歉收”记 E1为“丰收”状态， E2为“平收”状态，E3为“歉收”状态表 3.6.1 给出了该地区1960—1999 年期间农业收成的状态变化情况试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵E1E2E3E1E2E3∑E1 E2 E3P11p12 p13 P21 p22p23 P31p32p333 7 5 7 2 4 3 5 2 15 13 11 6 表 3.6.1 某地区农业收成的状态变化年份1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 状态E1 E1 E2 E3 E2 E1 E3 E2 E1 E2 年份1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 状态E3 E1 E2 E3 E1 E2 E1 E3 E3 E1 年份1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 序号21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 状态E3 E3 E2 E1 E1 E3 E2 E2 E1 E2 年份1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 序号31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 状态E1E3E2E1E1E2E2E3E1E2解：从表 3.6.1 中可以知道．在15 个从 E1出发 (转移出去 )的状态中，有3 个是从 E1 转移到 E1的（即 1 → 2，24 → 25，34 → 35） ，有 7个是从 E1转移到E2的（即 2 → 3，9 → 10，12 → 13， 15 → 16， 29 →30， 35 → 36， 39→ 40） ， 有 5 个是从 E1转移到 E3的 （即 6 → 7， 17 → 18，20 → 21，25 → 26，31 → 32） 。

E1E2E3E1E2E3∑ E1 E2 E3P11p12 p13 P21 p22p23 P31p32p333 7 5 7 2 4 3 5 2 15 13 11 7 按照上述同样的办法计算可以得到P11=p(E1 →E1) =p(E1／E1)=3/15=0.2 P12=p(E1 →E2 =p(E2／E1)=7/15=0.4667 p13 =p(E1 → E3)= p(E3| E1) =155 =0.3333 P21= p(E2→ E1)= p(E1／E2) =7/13=0.5385P22 = p(E2→ E2)= p(E2／E2) =2/13=0.1538P23= p(E2→ E3)= p(E3／E2) =4/13=0.3077P31= p(E3→ E1)= p(E1／E3) =4/11=0.3636P32= p(E3→ E2)= p(E2／E3) =511=0.4545 P33= p(E3→ E3)= p(E3／E3) =2/11=0.1818所以，该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为8181. 05454.06363.07307.08153.05538.03333.07466.00200.0p（3.6.5）例 2：段 [1，5 ]上有一个结点，假设它只能停留在1，2，3，4，5 几个点上，并且只能在 1 秒，2 秒，,, ，等时刻发生随机转移。

转移规则是：在移动前，它处在2，3，4 几个点上，分别以1/3 的概率向左右移动一格，或停留在原点处；移动前处在1 点上，那末就以8 概率 1 移动到 2 点上；移动前它在5 点上，就以概率 1 移动到 4 点上如果 X(t) = i 表示结点在时刻t ( t = 1， 2， ,) 位于 i 点上（ i = 1 ，2，, ， 5） ，则 X (t)为马尔 科夫过程，其转移概率矩阵为：010001/31/31/30001/31/31/30001/31/31/300010p2．马尔可夫预测法(1) 状态概率 πj(k)为了运用马尔可夫预 测法对事件发展过程中状态出现的概率进行预测，还需要再介绍一个名词：状态概率 πj (k) 表示事件在初始（k=0）状态为已知的条件下，经过 k 次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态 Ej的概率 根据概率的性质， 显然有：1(k)n1jj( 3.6.6) 也就是说在第k 个时刻，事件肯定会在n个可能状态的某一状态上9 从初始状态开始，经过k 次状态转移后到达状态Ej，这一状态转移过程，可以看作是首先经过 (k-1) 次状态转移后到达状态Ei (i=1 ，2，, ， n)，然后 再由 Ei经过一次 状态转移到达 状态 Ej。

根据马尔可夫过程的无后效性及 Bayes条件概率公式，有：πj (k) =ijn1ij1)P-(k(j=1，2，, ， n)( 3.6.7) 若记向量 π (k)=[ π1(k)，π2(k) ，, ,πn(k) ]， 则由公式（ 3.6.7）可以得到逐次状态概率的递推公式k32P0P1kP0P13P0P12P01）（＝＝）－（）＝（）（）（）＝（）（）（）＝（）（）＝（k(3.6.8) 其中， π(0)=[π1(0)，π2(0)，, ,πn(0) ]为初 始状态概率向量2)第 k 个时刻 (时期 )的状态概率预测由 上述讨论可知，如果某一事件在第0 个时刻 (或时期 )的初始状态已知，即π (0)已知，则利用递推公式 (3.6.8)， 就可以求得它经过k 次状态转移10 后，在第 k 个时刻 (时期 )处于各种可能状态的概率， 即 π (k)， 从而就得到该事件在第k 个时刻 (时期)的状态概率预测在例 1 中，如果将 1999 年的农业收成状态记为 π (0) = [0 ，1，0](因为 1999 年处于“平收”状态 )，那么，将状态转移概率矩阵公式(3.6.5)及 π(0)代入递推公式 (3.6.8)，就可以求得2000— 2010 年 可 能 出 现 的 各 种 状 态 的 概 率 (表3.6.2)。

2000 π ( 1)= π (0)﹒P =[ π1 (0)，π2(0)，π3 (0) ]﹒P =［0, 1，0］﹒ 8181.05454.06363.07307.08153.05538.03333.07466.00200.0=［0.5385，0.1583，0.3077］2001 π ( 2)= π (1)﹒P =π ( 0)﹒P2= ［0.5385， 0.1583，0.3077］ 8181.05454.06363.07307.08153.05538.03333.07466.00200.0=［0.3024，0.4149 0.2837］2002 π ( 3)= π (2)﹒P =π ( 0)﹒P3=［0.3867，0.3334，0.2799］以后年份可类推计算，如下表11 表 2. 某地区农业收成的概率预测年份E1 E2 E32000 0.5385 0.1582 0.3077 2001 0.3024 0.4148 0.2837 2002 0.3867 0.3334 0.2799 2003 0.3587 0.3589 0.2799 2004 0.3677 0.3509 0.2799 2005 0.3647 0.3532 0.2799 2006 0.3656 0.3524 0.2799 2007 0.3653 0.3526 0.2799 2008 0.3653 0.3525 0.2799 2009 0.3653 0.3525 0.2799 2010 0.3653 0.3525 0.2799 (3)终极状态概率预测。