（新课标）高考数学总复习坐标系与参数方程教案理新人教A版选修4-4.doc

创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 坐标系与参数方程教案 理 新人教A版选修4-4第一节　坐　标　系考纲要求：1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标系的概念①极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．②极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．③点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．(2)极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos θ－≤θ≤圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)；(2)θ＝α和 θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a－＜θ＜过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．(　　)(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆．(　　)(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α.(　　)(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.(　　)答案：(1)　(2)√　(3)√　(4)2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．解析：由知代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.答案：y′＝3sin 2x′3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案：4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．解析：由∴sin θ＝，∴θ＝或.答案：或5．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－，OB＝2＝，化简得ρ＝－2cos θ.答案：ρ＝－2cos θ6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，曲线C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.答案： [典题1]　(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．[听前试做]　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，于是x′＝3＝1，y′＝(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入y＝6x得2y′＝6，∴y′＝x′，即y＝x为所求．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)． [典题2]　(1)(2015广东高考改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．(2)(2015江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．[听前试做]　(1)由2ρsin＝，得2ρ＝，∴y－x＝1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θα)或ρ＝cos(θα)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．1．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．解：(1)∵x＝－5cos＝－，y＝－5sin＝－，∴点M的直角坐标是.(2)ρ＝＝＝2，tan θ＝＝.∵点M在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝.因此，点M的极坐标是.2．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．[典题3]　(2015新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[听前试做]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标．解：由ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由ρsin θ＝1⇒y＝1，联立⇒故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[易错防范]1．简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．2．把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.1．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos可得ρ2＝4ρ＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即得x2＋y2＝2x＋2y，配方可得(x－1)2＋(y－)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方。