三角形的五心几何性质.doc

三角形的五心几何性质一．重心 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1 2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等即重心到三条边的距离与三条边的长成反比3、 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3， （Y1+Y2+Y3)/3 二．垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心 1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍2、垂心分每条高线的两部分乘积相等垂心的坐标A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心 H(x0,y0)用斜率是负倒数关系 Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出 x0,y0即可，三．内心 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心1、 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、 O 为三角形的内心，A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长 AO 交 BC 边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 3、 （内角平分线分三边长度关系） △ABC 中，0 为内心，∠A 、∠B、 ∠C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于Q、P、R ，　则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.4、△ABC 中，A(x1 ，y1)， B(x2，y2)，C(x3 ，y3) ，那么 △ABC 内心坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．法一：向量法设: 在三角形 ABC 中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为 I（X，Y）则有 aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1-X，Y1-Y）MB=(X2-X,Y2-Y)MC=(X3-X,Y3-Y)则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)∴I（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)， （aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）几何法：设 A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为 I，AI 交 BC 于 D，BI 交 AC 于E， CI 交 AB 与 F由平面几何性质得 BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到 AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DC D ((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)] Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c))四．外心 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

1、外心到三顶点的距离相等2、若 O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A 为钝角） 已知 A(a,b)B(c,d)C(e,f)求三角形 ABC 外心坐标（x,y ）三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心坐标（x,y）1)利用半径相等(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x-c)^2+(y-d)^2=r^2(x-e)^2+(y-f)^2=r^2解出 x,y2）利用中垂线交点AB 中垂线y=(c-a)x/(b-d)+(a^2+b^2-c^2-d^2)/(b-d)AC 中垂线y=(e-a)x/(b-f)+(a^2+b^2-e^2-f^2)/(b-f)假设：m=(c-a)/(b-d), n=(e-a)/(b-f) p=(a^2+b^2-c^2-d^2)/(b-d) q=(a^2+b^2-e^2-f^2)/(b-f)y=mx+p,y=nx+q外心 [(q-p)/(m-n),(q-p)m/(m-n)+p]五 ． 旁 心 三 角 形 一 内 角 平 分 线 和 另 外 两 顶 点 处 的 外 角 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 旁 心 。

1、每个三角形都有三个旁心 2、旁心到三边的距离相等。