期权的二叉树定价模型.ppt

期权的二叉树定价模型期权的二叉树定价模型•在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下，期权价格的合理取值应为多少？•本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权（call option）定价问题为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图这个二叉树图能够描述标的资产（股票）在期权的有效期内所可能够遵循的路径1一、单期二叉树模型一、单期二叉树模型•1．二叉树模型的例子．二叉树模型的例子•首先我们看下面的一份例子•假设某种股票的当前价格为$20，并且能够知道三个月后，股票的价格后的可能取值为两个$22或$18假设股票不付红利，我们将对三个月后以$21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值•根据期权合约的定义，很容易计算得到下面的结果：在期权的到期日，如果股票价格为$22，则期权的价值将是$1；如果股票价格为$18，则期权的价值将是0                        2•股票和期权的取值情况如图所示3根据无套利定价的思想为期权定价•在无套利假设条件下，如何利用二叉树模型为期权定价•我们将构造股票和期权的投资组合，特别的，将股票和期权分别取适当的头寸，我们将能够构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合，从而无风险组合的价值在三个月末是确定值。

•由于该组合无风险，根据无套利假设条件，所以该组合的收益率一定等于无风险收益率，由此我们可以得出有关期权价格的一个方程，求解该方程，就可以得出期权的价格由于组合中只有两种证券（股票和股票期权），并且只有两个可能的结果，所以只要选择合适的股票和期权的比率，我们一定能构造出无风险组合4构造下面的证券组合•该组合包含△股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸•我们首先计算△值为多少时，所构造的组合为无风险组合•当股票价格从$20上升到$22时，股票的价值为22△，期权的价值为$1，在这种情况下，该证券组合的价值为22△-1；当股票价格从$20下降到$18时，股票的价值为18△，期权的价值为零，在这种情况下，该证券组合的价值为18△如果选取某个具体的△值，使得在两种情况下，组合最终的价值相等，则该证券组合一定是无风险组合•即    22△-1=18△， •求解可得： △=0.255•因此，按照上面求出的△值，我们可以构造下面的无风险证券组合为：–多头多头：0.25股股票                  –空头空头：一份看涨期权合约•如果股票价格上升到$22，该组合的价值为：•22*0.25 – 1=4.5•如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为：•18*0.25 = 4.5•可以看到，无论股票价格怎样变化，最终是上升还是下降，在期权有效期结束时，我们构造的证券组合价值总是$4.5。

6在无套利假设条件下，无风险证券组合的收益率一定为无风险利率•假设无风险利率为年率12%我们可以计算该组合的现在价值一定是$4.5，即：            •我们用f 表示期权的价格已知股票现在价格为$20，因此该组合现在的价值为：•   20*0.25 – f = 5 – f •于是    5 – f = 4.367•求解可得 f = 0.633•在无套利假设条件下，期权的价值一定为$0.6337•如果期权的价值超过了$ 0.633，投资者构造该组合的成本就有可能低于$ 4.367，并将获得超过无风险利率的额外利润，这与无套利假设条件矛盾；如果期权的价值低于$ 0.633，投资者可以通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金，这与无套利假设条件矛盾82 期权的二叉树计算公式推导期权的二叉树计算公式推导•考虑一种不支付红利的股票，股票现在价格为S，以该股票为标的资产，有效期为T的某个期权的价格为f，假设在未来T时刻股票的价格只有两种取值情况，股票价格或者从S上升到一个新的价格，或者从S下降到一个新的价格 (其中：u > 1 , d < 1)，即当股票价格向上变化时，股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下变化时，股票价格减少的比率为1-d。

•在期权的有效期T时间，我们可以根据股票的取值情况，计算期权的相应取值状况当股票价格变化到Su时，我们假设期权的收益为fu；当股票价格变化到Sd时，我们假设期权的收益为fd•利用前面例子的思想方法，我们可以利用股票和期权合约构造无风险证券组合在证券的组合中，我们将选取△股的股票多头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合为使得该证券组合为无风险组合，我们需要计算股票的多头头寸数量△的具体取值9股票价格和期权价格的单步二叉树图股票价格和期权价格的单步二叉树图 SufuSfSd fd•如果股票价格由S上升到Su，则在期权的到期日，该组合的价值为：Su △ - fu•如果股票价格由S下降到Sd，则在期权的到期日，该组合的价值为：Sd △ - fd10•要使得上述证券组合为无风险组合，则无论股票价格是上升还是下降，在期权的到期日，上述的两个取值应该相等，即Su△ - fu = Sd △ - fd•整理可以得到 （1）11当组合中股票的△取值为 时•所构造的组合一定是无风险组合，根据无套利假设条件，组合的收益一定为无风险利率•我们用r表示无风险利率，则该组合的现值为：• •而该组合的初始价值为S △ -f ，因此•将△代入上式可以得到•其中（2）（3）12利用单期二叉树模型公式估计期权的价值•假设u = 1.1 , d = 0.9 , r = 0.12 , T = 0.25 , fu =1，fd=0。

由公式可得p = (e0.03-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523•期权的价值为•这个结果与前面的计算结果相同133 3 期权的风险中性定价期权的风险中性定价•我们注意到，二叉树期权计算公式没有用到股票上升和下降的概率例如，当上升概率是0.5时，计算得到的欧式期权价格，与上升概率为0.9时，计算得到的欧式期权价格相等直观上，人们很自然的会想到，如果股票价格上升的概率增加，则基于股票的看涨期权价值也会增加，看跌期权的价值会减少事实上，情况并非如此•虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率作任何假设，在期权计算公式中，可以将变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量1-p就是股票价格下降的概率• 14• 为期权的预期收益按照这种对p的解释，于是公式 表示的含义为：期权的现值就是未来期权的预期值按无风险利率的贴现值15当上升变化的概率假设为时，我们考察一下股票的预期收益•在T时刻预期的股票价格，由下式给出：•将p的表达式代入上式，化简得：•上式说明，平均来说，股票价格以无风险利率增长因此，假设上升变化的概率等于等价于假设股票收益为无风险利率。

4）16所有投资者是风险中性的世界，称为风险中性世界（risk-neutral world）•在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，证券市场上所有证券的预期收益都假设是无风险利率公式（4）说明:当我们设定上升变化的概率为时，我们就在假设所有投资者都是风险中性公式（2）说明：在风险中性世界中，给期权定价时，我们可以假设证券市场上所有证券的预期收益都是无风险利率，期权的价值是其预期收益按无风险利率的贴现值17利用风险中性定价法计算上面例题•已知股票现价为$20，三个月末股票价格可能上涨到$22或下降到$18本例中所考虑的期权是一份执行价格为$21，有效期为三个月的欧式看涨期权，无风险利率是年率12%•在风险中性假设条件下，股票价格上升变化的概率是p在这样的世界中，股票的预期收益率一定等于无风险利率12%这意味着一定满足：22p +18(1 –p)= 20e0.12*0.25p=0.65230.6523•在三个月末尾，看涨期权价值具有$1价值的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477因此，看涨期权的期望值为：                                0.6523 1 + 0.3477 0 = $0.6523•利用无风险利率进行贴现，可以得到该期权的价值为: 0.6523e- 0.6523e-0.12*0.25=0.633=0.633 •这一计算结果与前面所得结果相同，这说明利用无套利理论和风险中性定价方法计算的结论相同。

18二、二叉树模型的应用二、二叉树模型的应用•显然，假设在期权有效期内股票价格的变化并只是由单期或两期构成，并不符合金融市场上股票价格的实际变化情况所以我们所列举的二叉树图模型都是非现实的情况，因此根据二叉树期权计算模型，计算出的期权价格只能是实际期权价格的近似值•在实际中应用二叉树图方法时，为使得计算的期权价格更为实际，我们通常将期权有效期分成30或更多的时间段在每一个时间段，就有一个二叉树股票价格变化图形30个时间段意味着最后有31个终端股票价格（terminal stock prices），并且有230即大约10亿个可能的股票价格路径• 19。