概率论第二章内容总结与案例课件.ppt

第二章￿内容回顾概率论第二章内容总结与案例分布函数的性质q￿￿F ( x ) 单调不减，即q￿且q￿￿F ( x ) 右连续，即概率论第二章内容总结与案例用分布函数表示概率用分布函数表示概率] ]] ]（（] ]ab概率论第二章内容总结与案例p.d.f.￿ ￿连续随机变量密度函数连续随机变量密度函数f ( x )的性质的性质1￿2常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性￿r.v.的￿d.f.3在￿f ( x ) 的连续点处，f ( x ) 描述了X 在￿x 附近单位长度的区间内取值的概率概率论第二章内容总结与案例数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))概率论第二章内容总结与案例2.3.2 方差的性质(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)[E(X)]2. 性质 2.3.1概率论第二章内容总结与案例（￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿）.2.3.3 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式注：易知　　￿越大Ｘ的取值越分散．切比雪夫概率论第二章内容总结与案例概率论第二章内容总结与案例定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关), 如果n时, npn(>0为常数). 则对于任意给定的k, 有概率论第二章内容总结与案例超几何、二项、泊松分布之间的近似关系超几何、二项、泊松分布之间的近似关系定理定理 超几何分布的极限分布是二项分布超几何分布的极限分布是二项分布即，在超几何分布中对于固定的即，在超几何分布中对于固定的 n，，k ，如果，如果 lim N→+∞ — = p 则有极限关系：则有极限关系： lim N→+∞ —————— = Cnk pk (1 – p )n – k 对所有的对所有的 0 ≤ k ≤ n 都成立。

都成立一般当一般当 n ≤ 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式时可以用这个近似的计算公式 M N CMk CN – M n – k CNn概率论第二章内容总结与案例常用离散分布的数学期望Ø 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/pØ 0-1 分布的数学期望 = pØ 二项分布 b(n, p)的数学期望 = npØ 泊松分布 P() 的数学期望 = 概率论第二章内容总结与案例常用离散分布的方差Ø 0-1 分布的方差 = p(1p) Ø 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) Ø 泊松分布 P() 的方差=  Ø 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2概率论第二章内容总结与案例概率论第二章内容总结与案例 P( X > m+n | X > m ) = P( X > n )几何分布的无记忆性指数分布的无记忆性概率论第二章内容总结与案例常用连续分布的数学期望Ø 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2Ø 指数分布 Exp() : E(X) = 1/Ø 正态分布 N(, 2) : E(X) = Ø 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = /Ø 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)概率论第二章内容总结与案例常用连续分布的方差Ø 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12Ø 指数分布 Exp() 的方差= 1/2Ø 正态分布 N(, 2) 的方差= 2Ø 伽玛分布 Ga(, ) : Var(X) = /2Ø 贝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1)概率论第二章内容总结与案例(x) 的计算(1) x  0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用若 X ~ N(0, 1), 则 (1) P(X  a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a 0 时， Y = kX ~ Ga (, /k). 定理2.6.5 设 X ~ FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1).均匀分布的有用结论概率论第二章内容总结与案例分布从哪里来？为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？分布来源于问题的提出。

心理学家认为: 一个正常人, 在整个睡眠时间中, 异相睡眠所占的比例服从B( 12, 48)非寿险精算：常用的损失分布为对数正态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布概率论第二章内容总结与案例可靠性问题可靠性问题可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率它是时间的函数，记作R(t)R(t) = p(T > t) 式中：T 为测量仪器寿命，t为规定时间，当t = 0 时，R(0) = 1；当t = ∞时，R(∞)=00tNn(t)概率论第二章内容总结与案例失效分布函数0tNn(t)t+ △t△ n(t)产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：概率论第二章内容总结与案例威布尔分布环断裂概率ntt概率论第二章内容总结与案例收益问题统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？概率论第二章内容总结与案例虫卵发育问题设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。

概率论第二章内容总结与案例数学期望问题1设随机变量X的概率密度为：求E(min{|X|,1})概率论第二章内容总结与案例数学期望问题2对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望概率论第二章内容总结与案例银行等待问题设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数请写出Y的分布概率论第二章内容总结与案例离散随机变量与连续随机变量设F(x)与G(x)都是分布函数，且a>0,b>0，为常数，且有a+b=1证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论概率论第二章内容总结与案例奇异型随机变量F(X)00.5概率论第二章内容总结与案例问题1解：记 B = “至少出现一次双6点”，则所求概率为 两颗骰子掷 24 次， 求至少出现一次 双6点 的概率.概率论第二章内容总结与案例问题问题2 2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.例例2 2概率论第二章内容总结与案例 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.B表示“2 张中至少有1张假钞”则所求概率是 （而不是 ！）.所以 概率论第二章内容总结与案例15511515125115215115概率论第二章内容总结与案例问题问题3 3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;例例3 3概率论第二章内容总结与案例问题4某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一盒剩余r根的概率。

概率论第二章内容总结与案例摸球问题从从n个球个球中摸中摸m个个球球摸球方式摸球方式摸法摸法有放回记序不记序无放回记序不记序概率论第二章内容总结与案例物品放入盒子问题m个个物品物品随机随机放入放入n个个盒子盒子放入方式放入方式摸法摸法盒子可以容纳任意个物品物品可辨物品不可辨每盒最多容纳一个物品物品可辨物品不可辨概率论第二章内容总结与案例。