四年级奥数-.pdf

四年级第一章计算问题第一节加减法的巧算第 1 类分组凑整类例 1： （第 2 届“希望杯”小四第1 试）计算：234+432-48+305=_. 解：原式 =234+432-32+66 =（ 234+66）+（432-32）=300+400 =700 说明：仔细观察算式中的数据，我们会发现，运用加法的交换律和结合律，可使算式中“234+66”和“ 432-32”凑为整百的数，从而使计算简便迅速我们把这种凑整的方法叫做“分组凑整法” 例 2：计算： 998+1413+9989=_. 解：原式 =998+2+1400+11+9989 =（ 998+2）+1400+10000 =1000+1400+10000 =12400 例 3：计算： 8+98+998+9998+99998+999998=_. 分析： 本题如果按多位数加法的方法把加数逐个相加会很麻烦，且容易出错 如果用借数法巧算就很方便把8,98,998,9998,99998,999998 看做 10,100,1000,10000,100000,1000000 （每个数借 2） ，最后把多加的6 个 2 减去（还数） 解：原式 =10+100+1000+10000+100000+1000000-2 6 =1111110-12 =1111098 第 2 类一一法类例 1： （第 2 届“希望杯”小四培训题）计算：7+77+777+7777+77777=_. 分析：在计算时， 我们会遇到各加数分别是由1 组成、且每个加数的数位又各不相同的式子，如下式： 1+11+111+ +11111111=12345678. 巧算时，有几个加数，个位数就是几，其他各位的值每往左则小1. 利用这个式子来解决复杂计算式的方法，我们称为“一一法”。

观察题中各数是有规律的排列，可将每一个数化成7 与 1、11、111、1111、11111 相乘，然后用一一法简算解：原式 =71+711+7111+7 1111+711111 =7（ 1+11+111+1111+11111）=712345 =86415 例 2： （第 5 届“希望杯”小四培训题）计算：555+5555+55555+,+55555555=_. 分析：观察各题中各数是有规律的排列，只是前面缺少5、55. 我们可以先补上5、55，再减去 5、55，就能用一一法简算了解：原式 =5+55+555+5555+55555+,+55555555- （5+55） =5【 （1+11+111+1111+11111+,+11111111）- （ 1+11） 】 =5【 12345678-12 】 =512345666 =61728330 例 3： （第 3 届“希望杯”小四培训题）33+333+3333+,+333,3(197 个 3)的末三位数字是_. 分析：只需要考虑各加数的末三位数解：因为33+333195=64968，所以末三位数字是968第 3 类轮转数求和类例 1： （第 3 届“希望杯”小四第2 试）计算：（1234+2341+3412+4123 ）（ 1+2+3+4）=_. 分析：因为1234=1000+200+30+4,2341=2000+300+40+1,3412=3000+400+10+2, 4123=4000+100+20+3，所以，比较上面各分解后的加数，不难发现， 1000+2000+3000+4000= （1+2+3+4） 1000,100+200+300+400=（1+2+3+4） 100,10+20+30+40=（1+2+3+4） 10，因此，本题可用提取公因数的方法进行巧算。

解：原式 =【 （1+2+3+4） 1000+（ 1+2+3+4） 100+（1+2+3+4） 10+1+2+3+4】 10 =【 （1+2+3+4） (1000+100+10+1)】 10 =10111110 =1111 例 2：计算（ 1234567+2345671+3456712+4567123+5671234+6712345+7123456 ）7=_. 分析：括号内的7 个加数，都是1、2、3、4、5、 6、7 这 7 个数字组成换句话说，这7个数的每一位也分别是1、2、 3、4、5、6、7，它们的和是1+2+3+4+5+6+7=28.即如果不进位，每一位的和都是28. 解：因为 1+2+3+4+5+6+7=28，所以原式 =（ 28100000028100000+2810000+28 1000+28100+2810+28） 7 =2811111117 =1111111(287) =11111114 =4444444例 3： （第 3 届“希望杯”小四培训题）35421,54213,42135,21354,13542 的平均数是 _. 解：因为这5 个数的同一个数位上的数字都分别是1、 2、3、4、5，它们的平均数是3. 所以，这 5 个数的平均数是33333. 第 4 类等差数列求和类例 1： （第 3 届“希望杯”小四第2 试）计算：1+2+, +8+9+10+9+8+,+2+1=_. 解：原式 =（ 1+9） +(2+8)+,+(8+2)+(9+1)+10 =109+10 =100 例 2： （第 4 届“希望杯”小四第1 试）计算：（2+4+6+,+2006）（ 1+3+5+,+2005）=_. 解：原式 =（ 2-1）+（4-3） +（6-5）+, （ 2006-2006 ） =1+1+1+1+,+1(1003 个 1) =1003 例 3： （第 5 届“希望杯”小四培训题）计算：（100+2007）+（99+20072）+（98+20073）+,+（2+200799）+（1+2007100） =_. 解：原式 =（ 100+99+98+,2+1）+2007（ 1+2+3+,+99+100） =（ 1+2+3+,+99+100）（ 1+2007） =（ 1+100） 10022008 =10140400 第 5 类分组巧妙求和类例 1： （第 3 届“希望杯”小四第1 试）计算：100-99+98-97+96-95+,+4-3+2-1= _. 解：原式 =(100-99)+(98-97)+(96-95)+, +(4-3)+(2-1) =1+1+1+,+1+1(50 个 1) =50 例 2： （第 6 届“希望杯”小四培训题）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+,+1993+1994-1995-1996+1997+1998= _. 分析： 根据数列的特征与计算规律，如果把数列中的每若干项作为一组，整个数列分成若干组时，每组中若干项的计算结果相同，或所得的结果称等差数列，由此巧算出题目的结果。

我们把这种巧算思路称为分组巧妙求和本 题 中 ， 除 首 尾 两 项 之 外 ， 其 余 各 项 依 次 每4项 作 为 一 组 ；2-3-4+5=0,6-7-8+9=0,10-11-12+13=0，, ， 1990-1991-1992+1993=0,1994-1995-1996+1997=0.因为除首尾两项外，其余各项每4 个作为一组，每组4 个数的计算结果为0，整个算的计算结果等于首、尾两数之和解：原式=1+（ 2-3-4+5）+（ 6-7-8+9） +（ 10-11-12+13 ）+,+（ 1990-1991-1992+1993 ） +（ 1994-1995-1996+1997 ）+1998 =1+0+0+0+,+0+0+1998 =1999 例 3：计算：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-14-15-16+,+1985+1986+1987+1988-1989-1990-1991 -1992+1993+1994+1995+1996= _. 分析（ 1）:可以从第5 个数起分段，每8 个数作为一组，每组数计算结果为16：-5-6-7-8+9+10+11+12=16 -13-14-15-16+17+18+19+20=16 , -1989-1990-1991-1992+1993+1994+1995+1996=16 结果是 16 的数组共可分成（1996-4） 8=249. 整个算式结果等于1+2+3+4+16249 的和解法 1：原式 =1+2+3+4+（-5-6-7-8+9+10+11+12）+（-13-14-15-16+17+18+19+20）+, + （-1989-1990-1991-1992+1993+1994+1995+1996） =1+2+3+4+16+16+,+16 （1996-4） 8 个 16 =1+2+3+4+16249 =1+2+3+4+3984 =3994 分析（ 2） ：还可以从第3 个数开始，每8 个数分为一组，计算结果是： 3+4-5-6-7-8+9+10=0 11+12-13-14-15-15+17+18=0 , 1987+1988-1989-1990-1991-1992+1993+1994=0 整个算式的结果等于第一、第二及最后两个数的和。

解法 2：原式 =1+2+(3+4-5-6-7-8+9+10)+( 11+12-13-14-15-15+17+18)+,+ (1987+1988-1989-1990-1991-1992+1993+1994)+1995+1996 =1+2+0+0+,+0+1995+1996 =3994 第 6 类选中间数找差凑整法类例 1： （第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：83+76+94+78+92+93+95=_. 分析： 本组中的每一道题，计算时，我们可以先找出一个中间数，然后用中间数去乘相加数的个数， 再用乘积加上大数与中间数的差，减去小数与中间数的差这种方法叫做选中间数找差凑整法解：原式 =857+（10+9+7+8-2-9-7 ） =595+16 =611例 2： （第 2 届“希望杯”小四培训题）计算：82+83+78+79+80+81+78+79+77+84=_. 解：原式 =8010+（2+3+1+4-2-1-2-1-3） =800+1 =801 例 3: 计算： 103+99+103+96+105+102+98+98+101+102=_. 解：原式 =10010+（3+3+5+2+1+2-1-4-2-2） =1000+7 =1007 第 7 类添去括号法类例 1： （第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：2059-1666-334 =_. 分析：解本组题可借助以下规律：a-b+c-d=a-(b-c+d);a-(b+c-d)=a-b-c+d 解：原式 =2059-(1666+334) =59 例 2： （第 3 届“希望杯”小四培训题）计算：9741-(341+350) = _. 解：原式 =9741-341-350 =9400-350 =9050 例 3：计算： 3456-1268+2467+6544-8732-1467 = _. 分析：由于加数3456 与 6544 的和是 10000，减数 1268 与 8732 的和也是 10000，因此我们可运用带着符号“搬家”及添括号的性质，使运算简便。

解：原式 =（ 3456+6544）-（1268+8732）+（ 2467-1467）=10000-10000+1000 =1000 第二节乘除法的巧算第 8 类分解凑整法类例 1： （第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：56425 12597 = _. 分析：用分解分组法计算比较简便把64 分解成 248，再分别与5、25、125 结合解：原式 =5（ 248） 2512597 =（ 52）（ 254）（ 125 8） 97 =10100100097 =97000000 例 2：计算： 375561311 = _. 分析：因为 375 和 8 相乘可以凑成整千的数，而算式中没有因数，所以可以采用分解的方法，把 56 分解成“ 87” ，再把 375 和 8 这两个因数分为一。