滞后型分段连续随机微分方程的稳定性.pdf

V o 1 ． 3 5( 2 0 1 5 ) NO ． 2 数学杂志 J ． o f Ma t h ． ( P R C ) STABI LI TY 0F STo CHA STI C DI FFEREN TI AL EQUAT1 0NS W I TH PI ECEW I S E C0NS T ANT ARGU M EN TS 0F RETARDED TY PE WANG Qi ， WE N J i e — c h a n g ( S c h l of A p p li e d M a t h e m t i c G u n g d n g U n i v e r s i t y o f T e c h n l o g y ， G u n g z h u 5 1 0 0 0 6 , C h i n n ) A bs t r a c t ： I n t h i s p a p e r ，a na l y t i c a l s t a b i l i t y a n d n u m e r i c a l s t a bi l i t y a r e bo t h s t u di e d f o r s t o c h a s t i c d i fi e r e n t i a l e q u a t i o n s wi t h p i e c e wi s e c o n s t a n t a r g ume n t s o f r e t a r de d t y p e ．Fi r s t ，t h e c o n d i t i o n u n d e r wh i c h t h e a na l y t i c a l s o l u t i o n s a r e me a n — s q u a r e s t a bl e i s o b t a i ne d b y I t 6 for mul a ． S e c o n d．s o me n e w r e s u l t s o n t h e n u me r i c a l s t a b i l i t y i nc l u di n g t he me a n — s q u a r e s t a b i l i t y a n d T— s t a b i l i t y o f t h e Eu l e r — M a r u y a m a m e t h o d a r e e s t a b l i s he d b y u s i n g i n e q ua l i t y t e c h n i q u e a n d s t o c ha s — t i c a n a l y s i s me t h o d． I t i S p r o v e d t ha t t he Eu l e r - M a r u y a ma me t h o d i S b o t h me a n ． s q u a r e s t a b l e a n d T— s t a b l e un d e r s o me s u i t a b l e c o n d i t i o n s ．Ou r r e s u l t s c a n b e s e e n a s t h e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o r r e s po nd i n g e x i s t o n e s o n t h e n u m e r i c a 1 s t a bi l i t y o f s t o c h a s t i c d e l a y d i fie r e n t i a l e q u a t i o n s ． K e ywor ds ： s t o c h a s t i c d e l a y di ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ；p i e c e wi s e c o n s t a n t a r g u me n t s ；Eu l e r — Ma r u y a ma me t h o d； me a n ． ． s q u a r e s t a b i l i t y ； T．． s t a b i l i t y 2 0 1 0 M R S u b j e c t Cl a s s i fi c a t i o n ： 6 5 L 0 7 ； 6 5 L 2 0 Do c u me n t c o d e ： A Ar t i c l e I D： 0 2 5 5 ． 7 7 9 7 ( 2 0 1 5 ) O 2 ． O 3 0 7 _ 1 1 1 I nt r oduc t i on S t o c h a s t i c d i ff e r e n t i a l e q u a t io n s w i t h p i e c e w i s e c o n s t a n t a r g u me n t s( S E P C A) c a n b e r e g a r d e d a s g e n e r a l i z a t i o n s o f b o t h s t o c h a s t i c d e l a y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( S D D E s ) a n d d i f - f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h p i e c e w i s e c o n s t a n t a r g u me n t s ( E P C A ) ． T h e g e n e r a l f o r m o f S E P C A o f r e t a r d e d t y p e i s d X( t ) =f ( t ， ( ) ， ( 一叫) ) +g ( t ， ( ) ， ( 一p ] ) ) d ( t ) ， t 0 w i t h t h e i n i t i a l f u n c t i o n ( 一 1 )= X一 1 a n d x( 0 )= ) C o ．Wh e r e[ ．] s i g n i fi e s t h e g r e a t — e s t i n t e g e r f u n c t i o n ， P ∈ + ． OD e — d i me n s i o n a l s t a n d a r d Wi e n e r p r o c e s s w( t 1 s a t i s fi e s E ( ( t ) ) =0 ， E ( ( t ) ( s ) ) =mi n { t ， s ] - a n d t h e i n i t i a l v a l u e X一 1 ， ) C o a r e r a n d o m v a r i a b l e s ． I n a d d i t i o n ， w e a s s u me t h a t f ( t ， 0 ， 0 ) =0 a n d g ( t ， 0 ， 0 ) ：0 ． EPCA d e s c r i b e h y b r i d d y n a mi c a l s y s t e ms a n d c o mb i n e p r o pe r t i e s o f b o t h d i ffe r e n t i a l a nd di ffe r e n c e e q ua t i on s ． The y a r e ap pe a r e d i n mode l i ng o f v a r i o us pr o bl e m s i n r e al l i f e s u c h a s b i o l o g y ,me c h a n i c s a n d e l e c t r o n i c s ．S e v e r a l i mp o r t a n t p r o p e r t i e s o f t h e a n a l y t i c a l R e c e i ve d da t e ：2 0 1 2 — 1 0 - 3 1 A c c e p t ed da t e：2 0 1 3 — 1 1 — 2 9 F o u n d a t i o n i t e m： S u p p o r t e d b y N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( 1 1 2 0 1 0 8 4 ) ． Bi o g r a p h y ： Wa n g Qi ( 1 9 7 8 一 ) ， ma l e ， b o r n a t Y i c h u n ， H e i l o n g j i a n g ， a s s o c i a t e p r o f e s s o r ， m a j o r i n n u m e r i c a l a n a l y 8 i s o f d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ． 3 0 8 J ou r na l of M a ~ he ma t i c s Vl0 1．35 s o l u t i o n o f E PC A a s w e l l a s n u me r i c a l me t h o d s h a v e b e e n s t u d i e d b y ma n v a u t h o r s f 1 ～ 4 1 ． F o r mo r e d e t a i l s o f EPCA， t h e r e a d e r c a n s e e W i e n e r ’ s b o o k 『 5 ] ． I n ma n y s c i e n t i fi c a n d a p p l i e d a r e a s ， i n c l u d i n g fi n a n c e ，e c o l o g y , c o mp u t a t i o n a l b i o l o g y a nd po pul a t i o n dy nami c s ，SDDEs ar e o f t e n us e d t o m o de l t he c o r r e s pond i ng s ys t e m s．I n r e c e n t ye a r s ，t he r e ha s be e n i nc r e a s i ng l y i n t e r e s t i ng i n s t udyi n g s uc h e 。