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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟393一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围是______A.(-∞，1]∪{0}．B.(-∞，0].C.[0,+∞).D.[1,+∞)∪{0}.答案:D[解析] f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2-|x|． 由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|. ①当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|，解得x≥0．综合得x≥1． ②当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-x，即2x=2x2，解得x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]． 问题:2. 设非负可微函数f(x)满足条件f'(x)≤0，收敛，则______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 由于f'(x)≤0，所以f(x)为单调下降函数． 由于收敛，则． 又 故 由夹逼定理可知． 又当x≥1时，0≤f(x)≤xf(x)，从而有． 问题:3. 设y=y(x)是初值问题的解，则 A．x=1是y(x)的极大点，且极限． B．x=1是y(x)的极大点，且极限． C．x=1是y(x)的极小点，且极限． D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限．答案:C[解析] 因为y(x)是方程的解． 由y'(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点． 又y"(1)=(πex-1-2y'-ay)|x=1=π＞0，所以x=1是y(x)的极小点． 问题:4. 如下四个论断中正确的是______ A．若级数收敛，且un≥vn，则也收敛． B．若收敛，则都收敛． C．若正项级数发散，则． D．若都收敛，则收敛． 答案:D[解析] A此论断只对正项级数成立，所以不对． B由反例un=1，，否定了此论断． C由反例，否定了此论断． D正确．因为都收敛，所以收敛，再由级数的运算性质，得收敛． 问题:5. 已知A，B均是n阶正交矩阵，A*，B*是A，B的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则 ①|A+B|=0． ②|A-B|=0． ③|A*+B*|=0. ④|A*-B*|=0. 中，正确的结果有______ A.1项．B.2项．C.3项．D.4项．答案:D[解析] A，B是正交阵，则有AAT=E=ATA，BBT=E=BTB，故 |A*±B*|=||A|A-1±|B|B-1| =-|A|n|(AT±BT)|=-|A|n|(A±B)T| =-|A|n|A±B|=0． 故①、②、③、④均成立． 问题:6. 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______A.AX=0和A2X=0．B.A2X=0和A3X=0．C.A3X=0和A4X=0．D.A4X=0和A5X=0．答案:D[解析] 显然，由AiX=0，两边左乘以A，得Ai+1X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立． 反之，若Ai+1X=0，是否有AiX=0． 对A，取，A2=0，取X=[0，0，1，1]T，则A2X=0x=0，但AX=，故A不是同解方程组． 对B，取，，A3=0，取X=[0，0，0，1]T，则A3X=0，但，故B不是同解方程组． 对C，取，，A4=0，取X=[0，0，0，1]T，则A4X=0，但，故C不是同解方程组． 由排除法知，应选择D． 对于D：易知A4X=0A5X=0，要证A5X=0A4X=0，用反证法，设A5X=0，而A4X≠0，因5个四维向量X，AX，A2X，A3X，A4X必线性相关，存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4使得 k0X+k1AX+k2A2X+k3A3X+k4A4X=0． (*) 对(*)式两边左乘A4，得 k0A4X+k1A5X+k2A6X+k3A7X+k4A8X=0k0A4X=0， 又A4X≠0得k0=0，将k0=0代入(*)式，类似的再两边左乘A3，可得k1=0，同理可得k2=k3=k4=0，这和X，AX，A2X，A3X，A4X线性相关矛盾，故A5X=0A4X=0．(一般地，当A为n阶方阵时，有An+1X=0AnX=0) 故A是四阶方阵时，A4X=0和A5X=0是同解方程组． 问题:7. 设随机变量X～N(0，1)，对给定的α(0＜a＜1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|≥x}=α，则x等于______ A． B． C． D．u1-α． 答案:A[解析] X～N(0，1)，Φ(-x)=1-Φ(x)． 由正态分布图，可知 问题:8. 若(X，Y)服从二维正态分布N(0，0，1，1，ρ)，令U=αX+βY，V=αX-βY，则cov(U，V)=______A.α2+β2．B.α2-β2．C.α2+2ραβ+β2．D.α2-2ραβ+β2.答案:B[解析] 由(X，Y)～N(0，0，1，1，ρ)，得X～N(0，1)，Y～N(0，1)． 则 E(X)=0，1=D(X)=E(X2)-(EX)2=E(X2)， E(Y)=0，1=D(Y)=E(Y2)-(EY)2=E(Y2)． cov(U,V)=E[(U-EU)(V-EV)]=E(UV)-E(U)E(V)=E(UV) =E[(αX+βY)(αX-βY)] =E(α2X2-β2Y2)=α2-β2． 二、填空题问题:1. 设有曲线，则L上与直线2x-y=1平行的所有切线的方程为______．答案:[解析] 由已知得 由切线与直线平行可知 得解，且． 由此得切点为和． 所求切线方程为和， 即和． 问题:2. 设z=f(x，y)在全平面R2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程，如果f(-x，x)=-x2，则f"12(-x，x)=______．答案:1[解析] f(-x，x)=-x2-f'1(-x，x)+f'2(-x，x)=-2x -[-f"11(-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2． 又f"11(-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x). 所以f"12(-x，x)=1． 问题:3. 二重积分______．答案:[解析] 思路一：在极坐标系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，则 其中． 思路二： 其中 所以 思路三：选v轴垂直于直线3x+4y=0，令3x+4y=u． 则 问题:4. 设L为闭曲线4x2+y2=8x的沿逆时针方向，则∮Ley2dx+(x+y2)dy=______．答案:[解析] 由于，L是半轴分别为1和2的椭圆． 由格林公式得 其中D是由围成的椭圆域，由于该椭圆域关于x轴对称，yey2是y的奇函数，所以，从而 问题:5. 设，则(A-2E)-1(A*+E)=______．答案:[解析] 由已知得 A可逆，A*=|A|A-1=-2A-1． 故 (A-2E)-1(A*+E)=(A-2E)-1(-2A-1+E)=(A-2E)-1(A-2E)A-1=A-1， 利用初等变换法求逆 则 问题:6. 设X1,X2…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，，，则统计量Z服从的分布是______．答案:t(2)[解析] 设X～N(μ，σ)，由题设得． E(Y1-Y2)=0， 故，，又，Y1-Y2与S2独立，则 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 已知f'(x)为连续的偶函数，满足条件f'(e-x)=xe-x，f(-1)=0．求f(x)的表达式．答案:[解析] f'(e-x)=xe-x，令e-x=|t|，则x=-ln|t|，于是有 积分得 当x＜0时， 当x＞0时， 综上，得 问题:2. 设，g(x)满足g'(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．答案:[解析] 得到，(|x|＜1)，代入方程得 由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e-x)． 问题:3. 若u0=0，u1=1，，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．答案:[解析] 由，得 则 设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件： (ⅰ)f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1； (ⅱ)，v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)． 4. 证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．答案:[解析] 证明f(x)是单调增函数，因为 x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx) Δx≥0，f(x+Δx)-f(x)≥f(Δx)≥0f(x)为单调增函数． 5. 对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．答案:[解析] 对f(x)∈Ψ，x∈[0,1]，有 1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)， 从而 而今函数f0(x)≡x，x∈[0，1]，显然f0(x)∈Ψ．又． 所以有． 对所有这一类函数中，积分的最大取值为． 问题:6. 已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．答案:[解析] 点(x，y，z)到xOy面的距离为d=|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题：，构造拉格朗日函数 L(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+y2-2z2)+μ(x+y+3z-5)， 则 由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有 解得代入得d=|z|=5或1． 即曲线C距离xOy面最远点为(-5，-5，5)，最远距离为5； 曲线C距离xOy面最近点为(1，1，1)，最近距离为1． 设向量组(i)α1=[1，2，-1]T，α2=[1，3，-1]T，α3=[-1，0，a-2]T； (ⅱ)β1=[-1，-2，3]T，β2=[-2，-4，5]T，β3=[1，b，-1]T； 记A=[α1，α2，α3]，。