数学分析上册课后习题答案(叶淼林).pdf

数学分析数学分析 上上册册 课后答案课后答案 叶淼林叶淼林版版 材料提供人 材料提供人 13 级信息二班全体同学级信息二班全体同学 答案仅供参考答案仅供参考 最终解释权归信息二班所有最终解释权归信息二班所有 侵权必究侵权必究 2 目录目录 第一章 3第七章 106 1 1 37 1 106 1 2 47 2 114 1 3 67 3 124 1 4 10第八章 128 1 5 148 1 128 1 6 168 2 131 第二章 19第九章 133 2 1 199 1 133 2 2 229 2 135 2 3 32第十章 138 2 4 35 2 5 39 2 6 43 第三章 49 3 1 49 3 2 52 3 3 57 3 4 61 第四章 65 4 1 65 4 2 69 4 3 71 4 4 73 4 5 78 4 6 81 第五章 84 5 1 84 5 2 86 5 3 93 第六章 98 6 2 98 6 3 100 6 4 101 6 5 103 3 第一章第一章 1 1 1 1 实数和数轴是一一对应的关系 2 是无限不循环小数 是无理数 3 两个无理数之和还是无理数 一个有理数与一个无理数之和是无理数 当有理数不为 零时 一个有理数与一个无理数的乘积是无理数 4 实数的稠密性 是指任何两个不相等的实数之间必有另一个实数 且既有有理数 也 有无理数 2 1 111 1 22 3 1 n n 111111 12231nn 1 11 1 n n 2 1111111 122222 n nnnnnnnnn 3 222 1 21 1 123 2222 n nnnnnn n 4 由题意用数学归纳法 当 2 1 12nnk 时显然成立 假设当时成立 即 2 11 12 1 2 knk k 那么时 2 22 11111111 21 21211kkkkkk 1 1 1211 22 1 1 22222 1 1111 k kkkk kkkk 即当1 nk 时 原式仍成立 综上可知 2 11 12 2 n n 3 1 由题意 知 22 2 111 220 0 aaaa aaa 当且仅当 11 20aa aa 时即1a 从而对 1 0 2 aa a 有且等号当且仅当a 1时成立 2 因为2 3 10 1111 n n hh nhhh nn 及所以 4 因为0 0ab 时有 121 nnnnn abab aabb 当0h 时 12 1 1 11 1 1 1 nnn n nn nn hh h n hh 当10h 时 12 1 1 11 1 1 1 nnn n nn nn hh h n hh 故当 1 0h 时 均有11 n h h n 4 1 1 2 1 2 12 1xxxxxx 2 1 2 3 13 2 2xxxxxx 5 1 2 3 0 xx 2 23 2 3 xx 即 3 212 5 2 25 xx x 时 或 12 2 5 xx 时 12 2 5 x 4 2 2 160 20 x xx 解得 40244 0 2 4xxx 或即 5 由题意得 11151 5 32666 6 xxx 解得即 6 由题意得 5 3 0 5 3 5 0 x x x 即 解得 2558 2 5 5 8 xxx 或则 1 2 1 1 因为 111 0 11nnn 所以对任意给定的0 取 2 1 1N 则当nN 时 有 11 0 lim0 11 n nn 所以 2 由于 2 222 33232311 4 2122 21 4923 nnnn n nnnnn 因此对任给的0 取 1 max 4 1N 当nN 时 有 2 2 33 212 nn n 成立 故 2 2 33 lim 212 n nn n 5 3 因为 1 1 0 99 9 10 n n 所以对0 不妨设1 取 1 lg1N 则当nN 时 有 1 0 99 9lim1 0 99 91 nn n 故 4 因为 22 22222224 0 0 1 2 311 2 n nnnnn 所以对只要取 4 1N 则当 nN 时 有 2 0 n n 故 2 lim0 n n n 5 0 10 lim0 n n qnq 当时 显然 01 20 1 当时 则有 可令 1 q 1 0a a 由于 122 1 22 0 1 1 n n nnn n nana q q 故对 2 1 2 0 2 1 N q 取则当nN 时 有 112 2 00 1 1 n n nq qnq 即lim0 1 n n n 6 1 1 n nNa n 对任意 1 0 1 n NnNa 取便得当时 有 7 因 为 111 10 112 nn nnnnn 因 此 对 任 意 的0 取 2 1 4 NnN 则当时 有 1 10 2 nn n lim10 n nn 故 8 由于 3 3322 123123 1 121 0 222 nnn nnn n nnnnn 因此 对任给 1 0 NnN 取则当时 3 1231 0 n nn 所以 3 123 lim0 n n n 9 1 1 n nNa n 对任意 1 0 NnN 取便得当时1 n a 有 2 证明 由于数列 0 nn xMstnNxM 有界 故有lim n n y 又由 0知 0 存在正整数 6 N 当nN 时 有 0 1 nn yy M 故当nN 时 有0 lim0 1 nnnnnn n x yxyMx y M 即 3 a不是数列 n a的极限 00 0 0 NnN 使得 0 0 n aa 1 取 0 1111 1 1 323 n n 当时 有 从而数列 1 n 的极限不是 1 2 本题即证 1 lim n n aRna 有对 0 1 对任意的正整数 1 2 a N 取 0 2nN 则 0 1 00 2 2 1 n naNaNa 故数列 1 n n 发散 1 3 1 分析 证明数列发散通常可以采用反证法 构造收敛级数 得出矛盾的结论 也可以举出 反例 本题后两个采用这种方法 对于未知参数要分类讨论 证 设 lim nn n aab 数列发散 反证法 若 lim lim nnnnn nn ababCaa 是收敛数列 即由于则 limlim lim lim nnnnnnn nnnn babaabaCa 即 nnn bab 为收敛数列 这与已知矛盾 故为发散数列 nn a b可能收敛也可能发散 如 1 nn an b n 则 nn a b为收敛数列 若 2 1 nn an b n 则 nn a b 为发散数列 n n a b 情形时的结论与之相同 2 1 1 4 2 0 3 2 1 13 2 3 2 3 3 n n 原式 4 2 11 limlim 21 11 nn n nnn n 原式 5 10 1 lim10 n n k k 原式 7 6 11 11 1 11 22 32 limlim22 11 11 11 1 23 33 n n n nn n 原式 3 1 111 lim 1 22 3 1 n n n 11111 lim1 2231 n nn 1 lim 11 1 n n 2 2 111 242 22 lim222lim2 n n nn 1 11 22 11 11 2 2 2 1 lim2lim22lim2 2 n n n nnn 3 2 1321 lim 222n n n 22 13211321 lim 2 222222 nn n nn 212 35211321 lim1 222222 nn n nn 2211 3153212321 lim1 2222222 nnn n nnn 22 11121 lim 1 1 2222 nn n n 1 1 1 1 121 2 lim 1lim 12 12 1 22222 1 2 n nnnnn nn nn 411 lim 32lim 332 22222 n nnnn nn nn 1 lim33lim2lim3 22 n n nnn n 4 当 1111 2 11 11 2 22 nn nn nn 时 有从而有 由于 1 limlim11 2 n nn 故根据极限的迫敛性 得 1 lim 11 n n n 8 5 由于 2222 1111 0 1 2 n nnnn 且 lim00 n 22 111 limlim0 nn n nnn 故根据极限的迫敛性 得 222 111 lim0 1 2 n nnn 6 因 22222 111 121 nn nnnnnnn 且 22 2 11 limlim1 limlim1 11 1 11 nnnn nn nnn nn 故根据极限的迫敛性 得 222 111 lim1 12 n nnnn 4 分析 1 利用几何平均值小于算术平均值 数学归纳法 放缩法 极限的迫敛性求解 2 先拆项 利用放缩法和极限迫敛性求解 3 1 1111 1 1 1 1 1 nnnnn nnnn 及移项及极限迫敛性求解 解 1 利用几何平均值小于算术平均值性质得 1 335 21 3 43 5 22 21 21 2 21 21 2 nn nnn 因此 1 3 5 21 1 3 5 21 1 0 2 4 621 33 5 21 21 21 nn nnnn 且 1 lim00 lim0 21 nn n 于是由极限的迫敛性 得 1 3 5 21 lim0 2 4 62 n n n 法二 令 1 321 2 42 n n a n 则 2 1 2 3 42121 2 3 4 522121 n nn a nnn 则 1 0 21 n a n 且 1 lim00 lim0 21 nn n 于是由极限的迫敛性 得lim0 n n a 2 1 1 2 111 1 1 n p n p n a nnnn nn 111 1 1 1 nn nn n 9 故 12 11 2 1 n n an nn n 又 12 lim1 lim 11 1 nn n nn n 得 1 limlim n p n nn p a n 1 3 由 111 11 01 11 0 n nnn 知又则 1 1 11nnnn n 即 1 1 1 1nnn n 故有 1 1 01 01 nn n 然而 1 1 lim00 lim0 01 nn n 因此 由极限的迫敛性 得lim 1 0 n nn 5 分析 1 利用 n na的定义及极限迫敛性求解 2 构造一个数列 nn bb满足为收敛数列 且与 n a同极限 利用极限的迫敛性求解 证 1 由 n na的定义知 1 1 n nnnnn na nNnananaaa nn 有即 因 1 lim lim lim n nn nnn na aaaaa nn 故由极限的迫敛性 得 2 由于lim0 3 n n a aaNnN 故取 则 N当时 24 33 nn aaaaa 有即 构造新数列 nnn Nnn bbaba 使则为收敛数列的平凡子列与 n a同时收敛于相同的极限 由于 2424 1 2 3333 n nn nnn baba naba 也满足于是 又因 24 lim1 lim1 lim1 lim1 33 nn nn nn nnnn aaba 故从而 小结 构造子数列是证明极限的重要方法 子列与原数列具有相同的收敛性 这样可以化复杂问题为 简单问题 6 分析 1 利用子列极限相等来证 2 利用三个子列极限相等 以及极限定义来证 解 1 此结论不成立 例如 数列 221 1 1 1 0 1 2 2 n nkk aaak 因为 221221 lim1 lim0 kkkkn kk aaaaa 故即均收敛 但发散 2 此结论成立 证明如下 设 32313 limlimlim kkk kkk aaaa 10 对于 123123 0 N NNNkN kNkN 使得当时 分别有 32313 kkk aaaaaa 取 123 333 NNNNnNnN 则当时 上述三个不等式同时成立 故当时 即 lim nn n aaaa 即 1 4 1 证 先假定数列 n a为单调增加。