概率论与数理统计浙大第四版-第六章,第七章.pdf

1 第六章 样本及抽样分布 关键词： 总 体 个 体 样 本 统 计 量 2 分布 t 分布 F 分布 2 引言：数理统计学：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学在概率论中已经知道，由于大 量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是少量的 是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学在概率论中已经知道，由于大 量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是少量的 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。

3 §1 总体和样本 总体：总体：研究对象的全体如一批灯泡研究对象的全体如一批灯泡 个体：个体：组成总体的每个元素如某个灯泡组成总体的每个元素如某个灯泡 抽样：抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程 随机样本：随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X随机抽取的n个个体的集合(X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n ), n为样本容量), n为样本容量 简单随机样本：简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X满足以下两个条件的随机样本(X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n )称 为简单随机样本 )称 为简单随机样本 1. 每个X1. 每个Xi i 与X同分布 2. X 与X同分布 2. X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量 [说明]：[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X 后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n ）具有联合密度函数：）具有联合密度函数：   12 1 ,, n nni i fx xxf x   4 统计量：统计量：样本（X样本（X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n ）的不含任何未知参数的函数 g（X ）的不含任何未知参数的函数 g（X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n ） 。

常用统计量：常用统计量：设（X设（X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,Xn n ）为取自总体X的样本）为取自总体X的样本         22 123 1232123 3 2 312 1 ,,,, 1 X 2 X2 3 max,, 1 4 5 i i NXXX XXXXX XXX         思考题：(一)设在总体中抽取样本其中 已知，未知 指出在 中哪些是统计量，哪些不是统计量， 为什么？ 1 1 1. X n i i X n    样本均值   1 1 1 3. 1,2, 1 () 1,2, n k ki i n k ki i kAXk n kBXXk n         样本矩阶矩： 阶中心矩： 22 1 1 2. () , 1 n i i SXXS n     样本方差为样本标准差 2 2 2 ,,., (),() ()__, ()___,()__. n XX X E XD X E X D XE S    1 （二）设X是 总体 的样本，若 ， 则 答：只有(4)不是统计量。

 2 n 2  6 §2 常用的分布 •         1 222 2 22 1 ,,0,1 1,2,, 1 1 n n n i i i X XXNin nn        设随机变量X相互独立，X 则称 服从自由度为 的， 定 指式右端包含 分布记为 自的独立变度 义： 由量的个数      2 2 1 2 1 0 1 0 2 22 0 6 0 .3 n y n x y ey nfyn y xe dx                   分布的概率密度为： 其 理 中 定： 2 分布 x ( )f x 0 10n  1n  4n  2 分布的概率密度函数 7 2 分布的一些重要性质：   2222 1. ,,2nEn Dn设则有  222 1122121212 2. ,,,YnYnY YYYnn设且相互独立，则有 2 2分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形：   22 12 11 ,,,, mm iimii ii YnY YYYn      ??设且相互独立，则          2 2 222 ,01, , n n fdy n y n n            为 分布的上 分 对给定的概率称满足条件的点 上 分位数的值可查位数分布表   2 n   0 2 分布的分位数 x ( )f x  8     2 0,1 ,,,NYn X TntTt Y n Y n    ? ?设X并且X相互独立， 服从自由度为 的 分布，记 则称随变量为机 定义：        , 01,, tn f t n dttn t ntt        对给定的称满足条件的点 为分布的上。

分布的上 分位数可位数查分分布表 t分布      1 2 1 2 2 2 6.4 ,1, n n n t t nf t nt n n           定理：分布的概率密度为：   tn   f x x0 t分布的分位数 10n  313x ( )f x 1n  4n  2021 t分布的密度函数 1 ( )( )tntn    9   22 12 1 1212 2 12 ,, , / ,, / nYnY X n Fn nFFF n n Y n nn  ? 设X且X独立， 则称随机变量服 定义： 从自由度的 分布，记为 其中 称为第一自由度，称为第二自由度 F分布         12 121 222 12 12 1 2 1221 22 12 1 1 1 0 , 1 0 , ;, 0 6. , 0 5 1 nnnnn nn b F n n n nxnn xx B f x n n x ab B a bxxdx                 分定理：布的概率密度为： 其中 ab 1 1221 ~( ,),~(,)FF n nFF n n  性质：则 10     12 1212 , 1212 , 01,;,, ,, Fn n f x n ndxFn n F n nFn nF         对于给定的称满足条件的点 为分布的上 分位数。

的值可查 分布表 0 x12  f x 21 ,20nn  2 25n  2 10n  F分布的密度函数 0 x 12 ,Fn n  ( )f x  F分布的分位数 1 11221 ( ,)[(,)]Fn nF n n     11 z   ,0,1 ,,01XNZP XZ Z     此外 设若满足条件 则称点为标准正态分布的上 分位数 1 ZZ    12 正态总体样本均值和方差的分布     2 22 12 2 2 2 2 ,,,,, 1. X, -1 2. 1 6 3. X .6 n n X XXNS N nS n S         设是总体的样本，X分别是样定理：本均值和样本方差，则有： 和相互独立     2 2 1 //11 / t n XnS X nt n S n      ? 且两者独立，由 分布定义得：    22 1, , 1 ,6.7 n XXNS n X t n S      ? 设是总体的样本，X和分别是样本 均值和样本方差，则有： 定理：    2 2 2 1 6.60,1 ,1 / nS X Nn n      ??证明：由定理知， 14 复习思考题 6复习思考题 6 1.什么叫总体？什么叫简单随机样本？总体X的样本X1 ,X2 ,…,Xn 有 哪两个主要性质？ 2.什么是统计量？什么是统计量的值？ 3.样本均值和样本方差如何计算？ 4.N(0,1)分布,t分布,χ2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是 如何定义的？怎样利用附表查这些分位点的值？ 5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？ 6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？ 15 第七章 参数估计 关键词： 矩估计法 极大似然估计法 置信区间 置信度 16  2 2 2 2 22 , 1 ; , 2 ,, x X X f xex               参数估计是统计推断的基本问题之一，实际工作中碰到的总体 它的分布类型往往是知道的，只是不知道其中的某些参数， 例如：产品的质量指标 服从正态分布，其概率密度为： 但参数的值未知，要求估计，有时还希望以一定的可靠性来 估计 值是在某个范围内或者不低于某个数。

参数估计问题就是要求 问题的提出： 通过样本估计总体分布所包含的未知参数的值 参数估计的两种方法：点估计法和区间估计法 17 §1 参数的点估计     12 12 ,,, 1,2,, ˆ ,,, n i i ini XXX ik XXX i         点估计的问题就是根据样本， 对每一个未知参数，构造出一 个统计量，作为参数 的估计， 称为的估计量 点估计有两种方法： 矩估计法和极大似然估计法 18       1212 1212 1 ;,,,,,,, ,,, 1,2,, ,,,,, 1 1,2,, ,,, 1121 ,,, 212 kk k v vkn n v vi i XF x XkE X E XvkXXXX vAXvk k A k n A                      设总体 的分布函数为是待 估计的未知参数，假定总体 的 阶原点矩存在， 则有：对于样 用样本矩作为总体矩的估计，即 本 其 阶样本 ： 矩是： 令      12 12 2 , ˆ ,,,,,, ,, 12 kk A kkk       。