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时间 120分钟，满分 150分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1. （2011安徽河历中学）空间四条直线a, b, c, d满足a丄b, b丄c, c丄d, d丄a,则必有（ ）A. a— B. b丄dC. bIId或 allc D. b^d且allc解析：由空间直线的位置关系可得．答案：C2. 下面命题中正确的是（ ）A. 有一侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B. 有两个侧面是正方形的棱柱是正棱柱C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D. 如果四棱柱的两个对角面都垂直于底面，那么这个四棱柱为直棱柱解析：选项 D 中，因为两个对角面都垂直于底面，所以它们的交线垂直于底面，而交 线和棱柱的侧棱平行，所以侧棱和底面垂直，故四棱柱为直棱柱．答案：D3. 设a, p为互不相同的两个平面，m, n为互不重合的两条直线，且m丄a, m丄0,则“n丄a”是“n丄0”的 条件（ ）A. 充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要解析：Tm丄a, mlfi,^a II p,故易知“n丄a”是“n丄0”的充要条件.答案： C4. （2011•惠州模拟）已知m, n是两条直线，a, 0是两个平面，给出下列命题：①若n 与a, 0所成的角相等，则a〃0；②若m, n与平面a所成的角相等，则mln；③若n, m为异面直线nUa, n〃0, mU0, mil a,则all 0,其中正确命题的个数是（）A. 3 个 B. 2 个C. 1 个 D. 0 个解析：①不正确，如正方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角相等，但这三个面 中任何两个都不平行；②不正确，如正四棱锥的的四条侧棱与底面所成的角相等但四条侧 棱中任何两条不平行；可以证明③正确.答案：C5•如图，正方体AC1的棱长为1,连接ACf则以下命题中，错误的命题是( )A. Aq丄平面A1BDB. H是的垂心V3C. AH="3~D.直线AH和BB1所成的角为45°解析：因为BBjAAf所以直线AH和BB1所成的角为ZA1AC1，AA yf3又 cosZA1AC1=ACt^^，所以 ZA1AC1^45°.答案： D6. (2011郑州模拟)设a、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题：① 若a丄b, a丄a, bGa,则blla；② 若a〃a, a±fl，贝U a丄0；③ 若a丄0, a丄0，贝O all a或aUa；④ 若a丄b, a丄a, b丄0，贝U a丄0・其中正确命题的个数为( )B. 2D. 4A. 1C. 3解析：利用线面、面面平行、垂直的判定及性质可推断①②③④均正确.Di C)答案： D7•如图，直四棱柱ABCD—A^CD]的高为3,底面是边长 为 4 且 ZDAB=60。

的菱形，ACCBD=O, ACfBD^O],则 二面角 O1－BC－D 的大小为( )A. 60° B. 90°C. 120° D. 150°解析：如图，过O作OF丄BC交BC于F,连接O]F,TOO]丄平面AC,••.BC 丄 OF・•••ZO" 是二面角O]-BC-D的平面角.•••OB = 2,ZOBF = 60• OF = J3•在 Rt △ O]OF 中,tanZOiFO =箸诗=3..■.ZO1FO = 60°,即二面角 Oj_BC_D 的大小为 60°.答案：A8已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,对于下列结论：3®BD1^AC；®AJC1和AD1所成角为60③顶点B1到平面Ag 的距离为牙•其中 正确结论的个数是( )A．0 个 B．1 个C. 2个 D. 3个解析：-AC丄BD, AC丄DD，BDQDD = D,•'•AC丄平面BDDf:.AC丄BD］，①正确.连接 AD1^AC^A1C1. CDf 心：_ "•••A&J AC・又、ADC为等边三角形，• ADAC = 60°.•••A&］和AD1所成角为60°,②正确.VB1D =叮12 +12 + 12 =屈3• B1到平面A1BC1的距离为苜，③不正确.答案： C9. 已知点A、B同位于以点O为球心、1为半径的一个球面上，且O到过点A、B的 截面的距离的最大值是¥，则点A、B间的球面距离等于()解析：设O到过点A、B的截面的距离为d，截面半径为尸，则有d= JU，当r最小，即截面以 AB 为直径时， d 取得最大值.因此依题^n ^n ^n又AB2 = OA2 + OB2,得ZAOB = 2，故点A、B间的球面距离等于^X1 = ^.答案： D10. 已知一个四棱锥的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1的正方形，则此四棱锥的底面积为（ ）A・迈 B. 6 j2C．1D. 2 *2解析：由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为1,在斜二测图形中（如图1）0, Bf=V2,且ZB' O' A' =45。

那么在原图形中（如图2）, ZB0A= 90°,且OB = 2扭，所以原平面图形的面积为1X2、Q = 2V2・答案：D11・（2011北京西城）如图，平面么丄平面B，anfl=l, A, C是a内不同的两点，B, D是B内不同的两点，且A, B, C, D直线l, M, N分别是线段AB, CD的中点.下列判断正确的是（）当CDI=2ABI时，M, N两点不可能重合M, N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交当AB, CD是异面直线时，直线MN可能与l平行A．B．C．D．解析：当M, N重合时，四边形ACBD为平行四边形，故AC II BD II l,此时直线AC 与 l 不可能相交, B 正确,易知 A , C, D 均不正确．答案： B12. （2011重庆高考）高为近的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）10 2+计‘3A. 2 B・ 2d.j2C?C・2解析：设题中的球的球心为O,球心O与顶点S在底面ABCD上 的射影分别是Of E,则有OA = OB = OC = OD = OS = 1, 点 O、是底面 正方形 ABCD 的中心，OOJI SE,且 OO= = \ OA2 - OA2 = 12 -呼）22Rt^SOF 中,OF2 = OS2_SF2 = 1_（¥）2 = 22，SE = Vi・在直角梯形OO1ES中，作OF丄SE于点F,则四边形OO1EF是矩形，EF = OO] = ¥，SF = SE-EF=扭-¥ 即O1E = ¥・答案：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13•设l, m表示两条不同的直线，a表示一个平面，从“〃、丄”中选择适当的符号[l m填入下列空格，使其成为真命题，即：｛l a今肌——-卩II m解析：由题意分析知：仁.今m丄a・ l丄a答案： 〃 丄 丄14•一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的 体积与这个球的体积之比为 •解析：设圆柱的底面半径是r则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2nr・2r = 4nr2, 设球的半径是尺，则球的表面积是4nR2,根据已知4nR2 = 4nr2，所以R = r.4所以圆柱的体积是nr2・2r = 2nr3,球的体积是3时3,所以圆柱的体积和球的体积的比是2nr3= 3：2.答案：3 : 215•在四面体 ABDC 中，AB=1, AD=2 j3, BC=3, CD=2,ZABC=ZDCB=2,则二面角 A－BC－D 的大小为 •D解析：•・• AD = AB + BC + CD ,・•・ AD 2 =a 2 + BC 2 + CD 2 +2 AB ・ CD ・:.AB • CD = -1.1・• cos〈 AB, CD〉=_ 2・・・・〈 AB，CD〉=2n,又AB, CD分别是平面BCD,平面BCA的法向量，且二面角A_BC_D的平面角为 锐角．n・・二面角A _ BC _D为亍答案：316・已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD, 点 E、F分别是棱 PC、 PD 的中点，则① 棱AB与PD所在直线垂直；② 平面PBC与平面ABCD垂直；③ APCD的面积大于△PAB的面积；④ 直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）解析：由条件可得AB丄平面PAD,^AB丄PD,故①正确；若平面PBC丄平面ABCD, 由 PB丄BC, 得 PB丄平面ABCD,从而PA II PB，这是不 可能的，故②错；11Stcd^2cDPD，S pab = 2aB・PA'由 AB = CD，PD>PA 知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF//CD,又AB II CD,，.EF IAB，故AE 与BF共面，④错.答案：①③三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤）（1） 求证：DE〃平面PAB；（2） 求证：平面PAB丄平面PBC.证明：（1）如图所示，取线段BC的中点F,连接EF、FD. 在APBC中，E、F分别为PC、CB的中点，•••EFIPB.在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，abf=2bc = i.又 TADIBC，且 AD = 1，.・.AD 綊 BF.四边形ABFD是平行四边形.AFD IIAB.又•••EFQFD = F，PBQBA = B，•••平面EFDI平面PAB.又TDE 平面EFD，.DE "平面PAB.⑵在直角梯形中，CB丄AB,又•••平面PAB丄平面ABCD，且平面PAB门平面ABCD=AB,•••CB丄平面PAB.•••CBU平面PBC,「・平面PBC丄平面PAB.18・（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，ABn丄侧面 BBCC，已知 BC=1,ZBCC=3, BB=2.（1）求证：CB丄平面ABC；⑵试在棱CC］（不包含端点C, C］）上确定一点E的位置，使得EALEBr 解：（1）证明：因为AB丄侧面BB］^。

故AB丄Bq,在、BCC 中，BC =1, CC1 = BB1 = 2,ZBCC1 = n，由余弦定理有BC1 = \BC2 + CC1 - 2-BC«CC1«cosZBCC1=^ /'1 + 4-2X2XCOS3 = \'3,• BC2 + BC2 = CCJ,AC1B 丄 BC・而 BCQAB=B 且 AB, BCU 平面 ABC,• CB丄平面ABC.A(2)由 EA丄EB, AB丄EB], ABQAE = A, AB, AEU平面 ABE,从而BE丄平面ABE,且BEU平面ABE,故BE丄BE・不妨设CE = x，则J CE = 2-x,则 BE2= x2- x+ 1.2。