圆知识梳理+题型归纳附答案-.docx

名师总结 优秀学问点圆【学问点梳理】一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外dr点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；A dr OBd Cr d d=r r d四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdR r ；内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；名师总结 优秀学问点d d dR r R r R r图1 图 2 图3d d rR r R图4 图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD∴弧 AC 弧 BDAC DO OA B EC DB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距 E相等； 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，F只要知道其中的 1 个相等，就可以推出其它的 3 个结论， OD即：① AOB DOE ；② AB DE ； AC B③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BDC七、圆周角定理B OA名师总结 优秀学问点1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：∵ AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角∴ AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧； D C即：在⊙ O 中，∵ C 、 D 都是所对的圆周角∴ C D B OA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是C直径；即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径 或∵ C 90 B O A∴ C 90∴ AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； C即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB∴△ ABC 是直角三角形或B AC 90 O注： 此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角； D C即：在⊙ O 中，∵四边形 ABCD 是内接四边形∴CBAD180BD180DAECBA E九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线 OM A N名师总结 优秀学问点（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：∵ PA 、 PB 是的两条切线 B∴ PA PBOPO 平分 BPA PA十一、圆幂定理（ 1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ，∴ PA PB PC PD（ 2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，DB OPC ACB O E A∴ CE 2 AE BED（ 3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线A∴ PA2PC PB ED（ 4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线∴ PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；OPC BAO1 O2B名师总结 优秀学问点如图：O1O2 垂直平分 AB ；即：∵⊙O1 、⊙O2 相交于 A 、 B 两点∴ O1O2 垂直平分 ABA十三、圆的公切线 BC两圆公切线长的运算公式： O1O2（ 1）公切线长：Rt O O C 中， AB2 CO 2 O O 2 CO 2 ；1 2 1 1 2 2（ 2）外公切线长：CO2 是半径之差； 内公切线长：CO2 是半径之和 ；十四、 圆内正多边形的运算C（ 1）正三角形在⊙ O 中△ ABC 是正三角形， 有关运算在 Rt BOD 中进行： OD: BD: OBO1: 3 : 2 ；B D A（ 2）正四边形同理，四边形的有关运算在 Rt OAE 中进行，OE : AE : OAB C1:1: 2 ：OA E D（ 3）正六边形同理，六边形的有关运算在 Rt OAB 中进行，AB : OB : OA1: 3 : 2 . OB十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式 A1、扇形：（ 1）弧长公式：l n R ；A180（ 2）扇形面积公式：2S n R 1 lR360 2O S lBn ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（ 1）圆柱侧面绽开图DA底面圆周长BCD1母线长C1名师总结 优秀学问点表侧底S S 2S = 2 rh2 r 2（ 2）圆柱的体积：V r 2hB1（ 2）圆锥侧面绽开图（ 1） S表S侧 S底 =2Rr r O（ 2）圆锥的体积： V1 r 2h R3【考题集锦】一、挑选题CA r B1．（北京市西城区）如图， BC是⊙ O的直径， P是 CB延长线上一点， PA切⊙ O于点 A，假如 PA＝ 3 ， PB＝ 1，那么∠ APC等于 （ ）（ A） 15 （ B） 30 （C） 45 （ D） 602．（北京市西城区）假如圆柱的高为 20 厘米，底面半径是高的（ ）（ A） 100π 平方厘米 （ B） 200π 平方厘米（ C） 500π 平方厘米 （ D） 200 平方厘米1 ，那么这个圆柱的侧面积是43．（北京市西城区） “圆材埋壁”是我国古代闻名的数学菱《九章算术》中的一个问题， “今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图， CD为⊙ O的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E， CE＝ 1 寸， AB＝寸，求直径 CD的长”．依题意， CD长为 （ ）25（ A） 寸 （ B） 13 寸 （ C） 25 寸 （ D） 26 寸24．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙ O半径为 5，PC切⊙ O于点 C， PO交⊙ O于点 A，PA＝ 4，那么 PC的长等于 （ ）（ A） 6 （ B） 2 5 （ C） 2 10 （ D）2 145．（北京市朝阳区）假如圆锥的侧面积为 20π 平方厘米，它的母线长为 5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ）（ A） 2 厘米 （ B） 2 2 厘米 （C） 4 厘米 （D） 8 厘米名师总结 优秀学问点6．（天津市）相交两圆的公共弦长为 16 厘米，如两圆的半径长分别为 10 厘米和 17厘米，就这两圆的圆心距为 （ ）（ A） 7 厘米 （ B） 16 厘米 （ C） 21 厘米 （ D） 27 厘米 7．（重庆市）如图，⊙ O 为△。