凝聚态物理：第二章 晶格振动与声子.ppt

第二章 晶格振动与声子简谐近似 一维单原子链的振动nn+1n+2n-1n-2nn+1n+2n-1n-2aa：力常数势能U(r)=U(a+)在r=a处做泰勒展开：简谐近似（即忽略三阶小微扰项）后可得：线性回复力：最近邻近似下的运动方程和色散关系只考虑最近邻原子间的相互作用： 格波方程解得 色散关系利用波恩卡曼边界条件解得：原子链的分立性与布里渊区 布里渊区0q(q) 晶格振动的所有可能状态都包含在该布里渊区中，这个区域之外的波矢q不提供任何新的振动状态 布里渊区的大小与原子距离成反比，若原子间距离减小，布里渊区随之增大 一个振动状态只能用一个波矢来表示q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相例：l q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同l 若则 与 描述同一晶格振动状态晶体长度的有限性和波矢的分立性1 2nNN+1N+2N+nl =整数在q轴上，每一个q的取值所占的空间为q的分布密度：LNa 晶体链的长度晶格振动格波的总数=N1简约区中波数q的取值总数N晶体链的原胞数=晶体链的自由度数*波矢的分立性，与系统限度的有限性有关，L无限长时，波矢是连续的。

一维双原子链的振动一、运动方程及其解2aM mn2n+12n-12n+2(设M m)考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用运动方程：解得：代入方程:久期方程：布里渊区： 对于不在简约区中的波数q ，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：为倒格矢两个色散关系即有两支格波：（：光学波； ：声学波）光学波和声学波的物理图象第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比R:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比，: 两原子的振动位相差 光学波（optical branch）在、象限之间，属于反位相型物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动 当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反 离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支 对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用如果它们具有相同的频率，就会发生共振光波： c0q， c0为光速=c0q0q(q)+(0)+ 对于实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光范围。

离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收声学波即：在、象限，属于同位相型物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动 q0时当q0时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同这与连续介质的弹性波 vq 一致当q0时 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支q)q0三维晶格振动的一般结论N个原胞中有个原子： 格波有3 支，其中3支声频支，其余3（ -1）支为光频支 每支格波有N个振动模 共有3 N个振动模周期性边界条件：， N：晶体链的原胞数q的分布密度：简约区中q的取值总数晶体的原胞数晶格振动的格波总数晶体的自由度数推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系 式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波 晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数简正坐标和声子晶体链的动能：晶体链的势能：系统的总机械能：频率为j的特解：方程的一般解：线性变换系数正交条件：系统的总机械能化为：Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。

运动方程： 声子是晶格振动的能量量子 声子的概念： 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式能量本征值： 声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不 能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只 是一种准粒子 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为 单元交换能量 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：固体比热容固体比热容电子系统比热容：晶格比热容：晶格比热容的经典解：一、晶格振动对热容的贡献在一定温度下，频率为j的简谐振子的统计平均能量：第j个简谐振子的能量本征值：晶格热容其中 平均声子数在一定温度下，晶格振动的总能量为：将对j的求和改为积分 晶体的零点能 与温度有关的能量g()：晶格振动的模式密度， m：截止频率晶格热容：g()d ：频率在d之间的振动模式数爱因斯坦模型二、晶格热容模型1.DulongPetit定律 经典统计理论的解释：能量均分定理DulongPetit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多 都等于6 cal/molK一摩尔晶体的振动能为： 经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。

困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时， CV 0，经典的能量均分定理无法解释2. Einstein模型在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为： 假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动即：定义 Einstein温度：v 高温下：T E 即v 在低温下：T D，即v 在低温下：T T2 ）由i声子所贡献的热流为总热流密度：比较得影响声子平均自由程的主要因素有：v 声子与声子间的相互散射；v 固体中的缺陷对声子的散射；v 声子与固体外部边界的碰撞等2. 声子间相互作用对声子平均自由程的影响 由于晶格振动非简谐性，不同格波间可以交换能量，才能达到统计平衡的用“声子”语言表述，不同格波间的相互作用，表示为声子间的“碰撞”在热传导问题中，声子的碰撞起着限制声子平均自由程的作用 声子间的相互碰撞必须满足能量守恒和准动量守恒以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例a. 声子间的相互作用l Gn0， N过程只改变动量的分布，而不改变热流的方向，不影响声子的平均自由程，这种过程不产生热阻 正规过程，或N过程（Normal Processes）0q1q2q1+q2Gnq3l Gn0， 翻转过程或U过程（Umklapp Processes）。

在U过程中，声子的准动量发生了很大变化，从而破坏了热流的方向，限制了声子的平均自由程，所以U过程会产生热阻b. 温度对声子平均自由程的影响v 高温下，即T D时，这时，平均自由程与T成反比而高温下，晶格热容为常数，与T无关所以，热导率K与温度T成反比对于所有晶格振动模式，有v 低温下，即T D时， 对起限制作用的是声子碰撞的U过程，而U过程必须有q可以与倒格子原胞的尺度相比拟的短波声子的参与才可能发生声子间相互作用所限制的平均自由程与温度的关系为介于23之间当温度下降时，声子的平均自由程迅速增大 低温下声子平均自由程的增大是由于U过程中必须参与的短波声子数随温度的下降而急剧减少的结果。