特征函数和矩母函数经典实用.ppt

一、矩母函数一、矩母函数 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 1．定义．定义 称称 的数学期望的数学期望 为随机变量为随机变量X的矩母函数的矩母函数2．原点．原点矩的求法矩的求法 利用矩母函数可求得利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在逐次求导，并计算在 点的点的值：值： 特征函数和矩母函数3．和的矩母函数．和的矩母函数 定理定理1 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的矩母函数分别为矩母函数分别为 ，， ，，…，， ，， 则其和则其和 的矩母函数为的矩母函数为 … 特征函数和矩母函数4. 母函数母函数定义：定义：设设X是是非负整数值随机变量非负整数值随机变量，分布律，分布律 P{X=k}=pk，，k=0,1, 则称则称为为X的的母函数母函数特征函数和矩母函数性质：性质：(1)非负整数值随机变量的分布律非负整数值随机变量的分布律pk由其母由其母函数函数P(s)唯一确定唯一确定(2)设设P(s)是是X的的母母函数，函数，若若EX存在，则存在，则EX=P (1)若若DX存在，则存在，则DX= P (1) +P (1)- - [P (1)]2特征函数和矩母函数(3)独立随机变量之和的独立随机变量之和的母函数等于母函数母函数等于母函数之积。

之积4)若若X1,X2,是相互独立同分布的非负整是相互独立同分布的非负整数值随机变量，数值随机变量，N是与是与X1,X2,独立的非独立的非负整数值随机变量，则负整数值随机变量，则的的母函数母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1其中其中G(s),P(s)分别是分别是N, X1的母函数的母函数特征函数和矩母函数证明：证明：(1)特征函数和矩母函数(2)特征函数和矩母函数设离散型非负整数随机变量设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律的分布律分别为分别为P{X=k}=pk，，P{Y=k}=qk，，k=0,1, ，，则则Z=X+Y的分布律为的分布律为P{Z=k}=ck,其中其中 ck= p0 qk +p1qk- -1 +  + pk q0 设设X,Y,Z的母函数分别为的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有，即有(3)特征函数和矩母函数(4)特征函数和矩母函数 特征函数和矩母函数 特征函数和矩母函数欧拉公式： 二、特征函数二、特征函数 1 .特征函数特征函数 设设X为随机变量，称复随机变量为随机变量，称复随机变量 的数学期望的数学期望为为X的特征函数，其中的特征函数，其中t是实数。

是实数还可写成还可写成 特征函数和矩母函数分布律为分布律为P(X=xk)=pk（（k=1,2,））的离散的离散型随机变量型随机变量X，，特征函数为特征函数为概率密度为概率密度为f(x)的连续型随机变量的连续型随机变量X，，特征特征函数为函数为对于对于n维随机向量维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特，特征函数为征函数为特征函数和矩母函数性质：性质：(1) 2) 在（在（- - ，，   ）上一致连续上一致连续3)若随机变量若随机变量X的的n阶矩阶矩EXn存在，则存在，则 , k   n 当当k=1时，时，EX = ；； 当当k=2时，时，DX = 特征函数和矩母函数(4) 是非负定函数是非负定函数5)若若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，则则X=X1+X2++Xn的特征函数为的特征函数为 (6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。

应且相互唯一确定特征函数和矩母函数 如果随机变量如果随机变量X为连续型，且其特征函为连续型，且其特征函数绝对可积，则有数绝对可积，则有反演公式反演公式：：（相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶变换）（相差一个负号的傅立叶变换）特征函数和矩母函数例例1 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函数的特征函数解解 由于由于 所以所以 麦克劳林公式特征函数和矩母函数例例2 设设随随机机变变量量X服服从从[a，，b]上上的的均均匀匀分分布布，，求求X的的特征函数特征函数 解解 X的概率密度为的概率密度为 所以所以 特征函数和矩母函数 例例3：：设设X服从二项分布服从二项分布B(n, p)，求，求X的特的特征函数征函数g(t)及及EX、、EX2、、DX 解解: X的分布律为的分布律为P(X=k)= ，， q=1-p，，k=0,1,2,,n特征函数和矩母函数例例4：：设设X~N(0,1)，求，求X的特征函数。

的特征函数解解: 特征函数和矩母函数例例5 ：：设随机变量设随机变量X的特征函数为的特征函数为gX(t) ，，Y=aX+b，，其中其中a, b为任意实数为任意实数，，证明证明Y的特的特征函数征函数gY(t)为为 证：证：特征函数和矩母函数例例6：：设随机变量设随机变量Y~N(  ,  2) ，求，求Y的特征的特征函数为函数为gY(t)解：解：X~N(0 , 1) ，，X的特征函数为的特征函数为设设Y=  X +  ，则，则Y~N(  ,  2) ，，Y的特征函数为的特征函数为 特征函数和矩母函数 三、常见随机变量的数学期望、方差、特征三、常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数函数和母函数分布分布期望期望方差方差特征函数特征函数母函数母函数0-1分布分布pp + ps二项分布二项分布npnpq(q +ps)n泊松分布泊松分布  几何分布几何分布特征函数和矩母函数分布分布期望期望方差方差特征函数特征函数 矩母函数矩母函数均匀分布均匀分布指数分布指数分布特征函数和矩母函数此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！。