2022年小学奥数平面几何五种面积模型.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相像,共边）目标：娴熟把握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相像（含金字塔模型和沙 漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型） , 把握五大面积模型的各种变形 学问点拨一、等积模型S1S2CADB①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等, 面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比；ab如右图S 1:S 2a b③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图S△ACDS△BCD；反之,假如S△ACDS△BCD,就可知直线 AB 平行于 CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等 行四边形 〕 ；〔 长方形和正方形可以看作特别的平⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等,面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角 〔 相等角或互补角 〕 两夹边的乘积之比．如图在 △ ABC 中,, D E 分别是 AB AC 上的点如图 ⑴〔 或 D 在 BA的延长线上, E 在 AC 上〕 ,就 S△ ABC : S△ ADE 〔 AB AC 〕 : 〔 AD AE 〕 D AADEBCBE〕 ：S 2:S 4S 3BAS2S1S3S4DCC图⑵图⑴三、蝶形定理〔 “ 蝶形定理”O任意四边形中的比例关系①S 1:S 2S 4:S 或者S 1S 3S 2S ②AO OCS 1蝶形定理为我们供应明白决不规章四边形的面积问题的一个途径．通过构造名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AaS4D模型,一方面可以使不规章四边形的面积关系与四边S1形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积S2O对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系 〔“ 梯形蝶形定理”〕 ：BS3C①S 1:S 3a2:b2b②S 1:S 3:S 2:S 4a2:b2:ab ab ；③ S的对应份数为ab ．四、相像模型〔 一〕 金字塔模型 〔二〕 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC①AD ABAEDEAF AG；ACBC〔只要其外形不转变,②S△ADE：S△ABCAF2:AG2．所谓的相像三角形,就是外形相同,大小不同的三角形不论大小怎样转变它们都相像 下：〕 ,与相像三角形相关的常用的性质及定理如⑴相像三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相像 比；⑵相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相像三角形模型,给我们供应了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具．在学校奥数里,显现最多的情形是由于两条平行线而显现的相像三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）名师归纳总结 在三角形 ABC中, AD , BE , CF 相交于同一点 O,那么BFDOAECSABO:SACOBD DC ．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO 和ACO的外形很象燕子的尾巴, 所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在很多几何题目中都有着广泛的运用,它的特别性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为第 2 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角形中的三角形面积对应底边之间供应相互联系的途径 . 典型例题【例 1】 如图,正方形 ABCD的边长为 6, AE 1. 5, CF_G2．长方形 EFGH的面积为．_H_H_A_D_A_D_E_E_G_B_F_C_B_F_C【解析】 连接 DE,DF,就长方形 EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍．三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,S△DEF661.5622624.54216.5, 所以长方形EFGH面积为 33．【巩固】如下列图,正方形ABCD 的边长为 8厘米,长方形 EBGF 的长 BG 为10厘米,那么长方形的宽为几厘米？_E _E_A _B _A _B_F _F_D _G _C _D _G _C【解析】 此题主要是让同学会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 〔 长方形和正方形可以看作特别的平行四边形 等高的平行四边形面积的一半．〕 ．三角形面积等于与它等底证明：连接 AG．〔我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起〕．名师归纳总结 - - - - - - -∵在正方形 ABCD中,S△ABG1ABAB边上的高,2∴S△ABG1SABCD〔 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积2的一半 〕 同理,S△ABG1S EFGB．2∴ 正 方 形ABCD 与 长 方 形 E F G B面 积 相 等 ．长 方 形 的 宽881 0〔 厘米〕 ．第 3 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 2】 长方形 ABCD的面积为 36cm , E 、 F 、G 为各边中点, H 为 AD 边上任意一点,问阴影部分面积是多少？HDAEGB F【解析】 解法一：查找可利用的条件,连接A C BH 、 HC,如下图：H DS ABCDSEG、SDHG181 2SDHC, 而可 得 ：SEHBBSAHB、FFHB1SC1SCHB22AHBSCHBSCHD36SEBF1即SEHBSBHFSDHG1〔SAHBSCHBSCHD〕136；,22而SEHBSBHFSDHGS 阴影SEBFBEBF1〔1AB〕〔1BC〕1364.5．222284.513.5所以阴影部分的面积是：S 阴影18SEBF18解法二：特别点法．找H 的特别点,把 H 点与 D 点重合,那么图形就可变成右图：FD〔H〕AEGBC这样阴影部分的面积就是DEF 的面积,依据鸟头定理,就有：名师归纳总结 S 阴影S ABCDSAEDSBEFSCFD36113611136113613.5．第 4 页,共 33 页2222222【巩固】在边长为 6 厘米的正方形ABCD内任取一点 P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P 点连接 , 求阴影部分面积．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADA学习必备欢迎下载DAD〔P〕P PBCBCBC【解析】 （法 1）特别点法．由于P 是正方形内部任意一点,可采纳特别点法,假设 P 点与 A 点重合,就阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的6 2〔 1 1〕 15 平方厘米．4 6（法 2）连接 PA、 PC ．4和 1 6,所以阴影部分的面积为由于PAD与PBC 的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形影部分的面积为62〔11〕15平方厘米．46ABCD 面积的1 4,同理可知ABCD 面积的1 6,所以阴【例 3】 如下列图,长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70,AB8,AD15,四边形 EFGO的面积为．ADEOGBFC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形 EFGO的面积之和,以及三角形AOE 和 DOG 的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积．由 于 长 方 形 ABCD 的 面 积 为 15 8120 , 所 以 三 角 形 BOC 的 面 积 为名师归纳总结 - - - - - - -120130,所以三角形AOE 和 DOG 的面积之和为12037020；44又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为1201130,所以24四边形 EFGO的面积为 302010 ．另解：从整体上来看,四边形EFGO的面积三角形 AFC 面积三角形BFD 面积白色部分的面积,而三角形AFC 面积三角形 BFD 面积为长方形面积的一半, 即 60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分的面积,即 12070学习必备欢迎下载605010．50,所以四边形的面积为【巩固】如图,长方形 ABCD 的面积是 36,E 是 AD 的三等分点, AE 2 ED ,就。