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第2章 结构动力学基础 2.1 多自由度体系的振动方程建立多自由度体系振动方程的主要方法是基于达朗贝尔原理的动力平衡法，其表现形式有两种：通过列出包括惯性力在内的平衡方程，以刚度系数（矩阵）形式表示，称为刚度法；通过建立位移协调方程，以柔度系数（矩阵）形式表示，称为柔度法1．刚度法（a） （b） （c） （d）图2.1.1 用刚度法建立振动方程为使方程具有一般性，讨论图（a）所示具有n个集中质量（质点）的体系，有n个动力自由度现按刚度法建立无阻尼体系的振动微分方程取各质点作隔离体，如图（b）所示各质点mi所受的力有下面三种：①惯性力，与加速度的方向相反；②弹性力Fe,i，与位移xi的方向相反；③动荷载Pi(t)根据达朗贝尔原理，可列出平衡方程如下：（） （2.1.1a）弹性力Fe,i是质点mi与结构之间的相互作用力图（b）中的Fe,i是质点mi所受的力，图c）中的Fe,ic）中，结构所受的力Fe,i与结构的位移之间应满足刚度方程：（） （b）式中，kij是结构的刚度系数，如图（d），即使质点j产生单位位移（其他各点的位移保持为0）时在点i所需施加的力。

将式（b）代入式（2.1.1a），即得无阻尼振动微分方程组，用矩阵形式表示如下： （2.1.2a）或简写为 （2.1.2b）式中，M和K分别是质量矩阵和刚度矩阵，在集中质量（质点）的体系中，M是对角阵；、和分别是位移列向量、加速度列向量和动荷载列向量 以上是用刚度法建立的方程，即以刚度系数（矩阵）形式表示的多自由度体系无阻尼的振动微分方程2．柔度法现仍以图（a）所示的多自由度体系为例，讨论采用柔度法来建立体系振动方程按柔度法建立振动微分方程时的思路是：在振动过程中的任一时刻t，质量mi的位移xi应当等于体系在当时惯性力和动荷载Pi(t)作用下所产生的静力位移a））据此可列出方程如下： （2.1.3a） （a） （b）图2.1.2 用柔度法建立振动方程式中，是体系的柔度系数，如图（b），即j点作用单位力时使i点产生的位移上式可用矩阵形式表示如下：或简写为 （2.1.3b）式中，是柔度矩阵，其余符合同式（2.1.2 b）。

因为体系的刚度矩阵与柔度矩阵存在如下关系：，将式（2.1.3b）前乘以K，即为式（2.1.2b）可见用刚度系数表示的振动方程和用柔度系数表示的振动方程，两者是等价的2.2 多自由度体系的自由振动2.2.1 自由振动方程及其解多自由度无阻尼体系的自由振动方程为 （）设解为如下形式（即各质点按同一圆频率作简谐振动）： （a）式中，是位移幅值向量，即 （b）将式（a）代入式（），即得 （）上式是位移幅值的齐次方程为了得到的非零解，应使系数行列式为零，即 （）式（）称为体系的圆频率方程或特征方程将行列式展开并求解，可得到体系的n个自振圆频率（n是体系的自由度数）把全部自振圆频率按照由小到大的顺序排列而成的向量称为圆频率向量，其中最小的圆频率称为基本圆频率或第一圆频率令表示与圆频率相应的主振型向量：将和代入式（），得 （）令，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型向量。

由于特征方程式（）的齐次性质，振型向量的幅值是任意的，只有振型的比例形状是唯一的因此，振型定义为结构位移形状保持不变的振动形式为了对不同自振圆频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振型的归一化振型归一化的方法可以采用下述三种方法之一：（1）特定坐标的归一化方法：指定振型向量中某一坐标值为1，其他元素值按比例确定；（2）最大位移值的归一化方法：将振型向量中各元素分别除以其中的最大值；（3）正交归一化方法：规定主振型满足2.2.2 主振型的正交性现在讨论主振型之间的一些重要特性（正交性质）这些特性在结构动力分析中是非常有用的设和为两个不同的自振圆频率，相应的两个主振型向量分别为和，并满足特征方程式（）： （） （）将式（）两边乘以，即有 （） （）注意到上式两端皆为一标量，转置后其值不变，而K和M均为对称矩阵，故转置后等于自身对式（）两端做转置运算后有 （）式（ （）若，则有 （） （）上式代入式（），则有 （） （）式（M和刚度矩阵K来说，不同圆频率相应的主振型是彼此正交的。

振型的正交性说明它们具备作为一类线性空间基的基本条件事实上，由振型向量所形成的线性空间正是一般动力反应空间，在这空间中的任一点表示一个特定的动力反应，并且这一点的坐标值可由关于基（振型）的广义坐标给出应该注意：振型向量是加权正交的，各振型向量构成加权正交函数系，而振型向量本身并不正交2.2.3 主振型矩阵在具有n个自由度的体系中，可将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵： （）这个方阵称为主振型矩阵根据主振型向量的两个正交关系，可以导出关于主振型矩阵的两个性质，即和都应是对角矩阵，即 （） （）式中，和分别称为广义质量矩阵和广义刚度矩阵；Mi和Ki分别为第i个主振型相应的广义质量和广义刚度，按下式计算； （）由式（）可以进一步得到即 （）这就是根据广义刚度Ki和广义质量Mi来求圆频率的公式这个公式是单自由度体系求圆频率公式的推广2.2.4 自由振动的近似计算 结构动力分析时经常需要计算结构的固有频率和振型然而，实际工程结构一般都具有较多的自由度，直接根据式（）计算高阶代数方程的特征值问题甚为繁复，同时在结构动力分析时通常只需要结构的低阶振动特性。

因此，寻求简捷而又具有良好精度的近似计算方法具有十分重要的实际意义本节介绍两种实用解法：子空间迭代法和里兹向量直接叠加法2.2.4.1 子空间迭代法子空间迭代法是反复使用瑞雷-里兹法和矩阵迭代法来求解结构低阶自振频率和振型的方法瑞雷-里兹法可以将体系的自由度折减，转化为s（，n为体系的自由度）个自由度的特征值问题，但此法需要假定振型，计算结果的精确程度有赖于所假定振型的精确程度；矩阵迭代法求解自振频率和振型，是用迭代的方法从体系的最低阶频率开始，逐阶进行计算如果把瑞雷-里兹法和矩阵迭代法二者结合起来，采用前法折减自由度，又在计算过程中采用迭代的方法使振型逐步趋近其精确值，则可以预期得到很好的结果这就是子空间迭代法的基本思路1．瑞雷-里兹法的矩阵形式对n个自由度的体系，瑞雷-里兹法采用矩阵的形式可表述如下：设位移向量可表示为 （）式中，是位移幅值向量，即主振型；ω是自振圆频率体系的最大动能为 （）体系的最大应变能为 （）由，得瑞雷比 （）式中，M为体系的质量矩阵；K为体系的刚度矩阵。

按照瑞雷-里兹方法，在n维空间的n个特征向量中，选取前面s个（）特征向量，这s个特征向量定义的空间称为原n维空间的一个子空间首先，假设s个标准化向量 （），并设位移幅值向量为这s个的线性组合，即 （）代入瑞雷比式（） （）式中，A和B表示瑞雷比中的分子和分母，它们都是参数aj的二次式其次，应用瑞雷比为驻值的条件，即（） （）由式（），，故得 （） （）由于 （）式中带*号的项，其乘积为一标量，标量的转置仍为原标量，故可与其前一项合并类似地 （）于是式（）可写为 （） （）或扩充后写成 （）令广义刚度矩阵和广义质量矩阵分别为 ； （）则上式变为 （）这样问题又归结为矩阵特征值问题，但这里是s×s阶矩阵，而不是原来的n×n阶矩阵特征值问题。

由此可见，里兹法起了减少自由度的作用解得的s个特征值就是原体系的前s个圆频率平方（）的近似值，相应地还得到s个向量，因此s个振型为 （） （）注意，式中aj对于广义质量矩阵是正交的，即当时，有 （）故各阶的振型也己对质量矩阵正交化了，即有 （）2．子空间迭代法n个自由度体系的自由振动方程（） （2.2.35a）或 （b）式中，如果把看作一个算子，那么向量经此算子作用后就等于该向量放大了倍这就是线性代数中的特征值问题：式（b）是n×n阶的特征值，为特征向量，为特征值，特征值和相应的特征向量合称特征对我们先选取s（）个n维向量，为了使数字计算能保持适当的大小，令各个向量的最大模为l，这s个n维向量记为，它们组成一个n×s阶的矩阵 （）把它作为体系前s阶主振型矩阵的零次近似，即设 。