天津市朱唐庄2023_2024高三数学上学期10月第一次检测试题.docx

天津市朱唐庄2023-2024高三上学期第一次检测数学试题本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.第Ⅰ卷（共60分） 一、单项选择（每题 5分，共 60 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）1. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】,所以，故选：A2. 设集合，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【详解】或，由得,所以，故选：D3. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，，又因为，所以，所以．故选：D.4. 已知p：，q：，则p是q的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件【答案】A【详解】如图所示， 所以，，故p是q的充分不必要条件.故选：A.5. 已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】对于命题，为方程的根，则，充分性成立；对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；所以是的充分必要条件.故选：C6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，得，解得；由，得，得因为当时，一定可以推出，而当时，不能推出。

所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．7. 下列可能是函数的图象的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，故选：C.8. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.【详解】因为，所以，又因为函数定义域为，所以函数为奇函数，故A选项错误，又因为当时，，函数单调递增，故B和C选项错误.故选：D9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据的图象关于原点对称排除部分选项，再由，时的函数值判断.【详解】解：的图象关于原点对称，则是奇函数，排除B；当时，，排除C；当时，，排除D；故选：A10. 设，，，则、、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：A.11. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.【详解】由题意得，，由于为上的单调增函数，故，故，故选：C12. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.【详解】，因为是定义在上的偶函数，所以，因为，，，且在上单调递减，所以，即.故选：A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，共30分）13. 已知i是虚数单位，化简的结果为______．【答案】##【分析】利用复数除法化简复数即可.【详解】.故答案为：14. 复数（其中i为虚数单位），则=___________.【答案】【分析】先化简复数，求出可得答案.【详解】因为，所以，.故答案为：.15. 已知复数为的共轭复数，则的虚部为___________.【答案】##【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解.【详解】由，则的共轭复数，则的虚部为.故答案为：16. 在的展开式中，的系数是________．【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于，计算展开式中含有项的系数即可.【详解】由题意得：，，只需，可得，所以，故答案为：.17. 若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为______.【答案】【分析】根据二项式系数和得到，再计算第三项的二项式系数即可.【详解】展开式的二项式系数和为，故，展开式中第三项的二项式系数为.故答案为：.18. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．【答案】80【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令，则，解得，则的展开式第项，令，解得，所以.故答案为：三、解答题（每题15分，共60分）19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1） （2） （3）【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由余弦定理知，，所以，即， 解得或（舍负），所以．【小问2详解】由正弦定理知，，所以，所以．【小问3详解】由余弦定理知，， 所以，， 所以.20. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【答案】（1） （2） （3）【分析】（1）根据正弦定理得到，代入余弦定理计算得到答案.（2）计算，，再根据正弦定理计算即可.（3）确定，，再根据和差公式计算得到答案.【小问1详解】，则，，，故，，即，解得或（舍去）.故.【小问2详解】，，则，，则.【小问3详解】，故为锐角，则，则，，.21. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面夹角的正弦值；（3）求点F到面PAC的距离【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）.【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可；（2）利用空间向量求线面角即可；（3）利用空间向量研究点面距离即可.【小问1详解】根据平面，平面，所以,又底面是正方形，则,可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，则，所以，易知是平面的一个法向量，而，平面，所以平面；【小问2详解】由（1）知，设平面的一个法向量为，则有，所以，令，即，设直线EF与平面夹角为，所以；【小问3详解】由（1）知，显然是平面的一个法向量，则点F到面PAC的距离为.22. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求点N到直线BC的距离（3）段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2） （3）存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式计算即可.（2）计算，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.（3）令，得到点坐标，确定平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示：为中点，连接，则，，，则四边形为矩形，故，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，则，取得到，设平面的法向量为，则，取得到，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】，，则，，故，点N到直线BC的距离为【小问3详解】令，，设，则，则，即，平面的一个法向量，故，，解得或（舍），故存在点满足条件，.。