有趣的物理实验—滚动的正多边形物体.doc

有趣的物理实验——滚动的正多边形物体刘建存 （南京师范大学 物理科学与技术学院，江苏 南京 210046）摘 要：生活中的轮子都是圆形的，似乎给我们的印象是只有圆形的物体才能自由自在的滚动本文通过对一个有趣的物理实验——滚动的方体进行观察，思考研究：是不是只有圆形的轮子才能自由的滚动呢？通过对不同形状的轮子的轨道进行理论分析，公式推导，得出正多边形稳定滚动的轨道方程关键词：有趣的物理实验；滚动；方体；悬链线实验是物理学产生和发展的基础，是检验物理理论的唯一标准，在物理学的发展中有着巨大的意义和推动作用 1物理实验最重要的一个作用就是激发学生的兴趣和求知欲，而对于课程的拓展的趣味物理实验吸引了不少同学的关注然而，对于这些趣味物理实验，原理上的解释似乎很少，远远不能满足对于物理爱好的同学的求知欲在很多的校的实验室，都有滚动的方体的器材（如右图 1）：一个近似半圆的轨道和一个方形的轮子把轨道稍微倾斜，方体就能很顺利的滚下来但对于这一现象的理论，没有多少人能够真正的明白，有的人甚至怀疑，方轮小车只能是个传说其实，对这个物理实验的理论，在大学物理中有很好的解释 2在此，我不再详述，本文主要讨论一下，是否只有正方形的轮子才可以滚动，对于其它形状的轮子，是否也能在一定形状的轨道上自由滚动。

1.正三角形轮子理论分析及其证明1.1 正三角形轨道公式推导首先试探一下，三角形的轮子能否在轨道上滚起来取正三角形 DEF 的 分析（如图 2） ，即一个直角三角16形 ABE.假设底座和正方体滚动的一样，仍然是悬链线，在滚动过程中，BE 边始终与悬链线相切，设切点为 T，中心 A 点与 T 的连线与地平面垂直于 P要使正三角形轮子能自由滚动，中心位置应该不变1作者简介：刘建存（1986- ） ，女，在职研究生，主要从事高中物理教学研究设 AB=R，则 AP=AB=R取链座某尖槽处为坐标原点建立 Oxy坐标系按已知条件，取 A 至切点 T连线并延长至 P它垂直于 X 轴因中心 A 总保持同样高度故AT+TP=R用 表示角位移因 ,cos60RT又令 TP=y，有（1）cos60Ry因 ，又 ，故tandyx221tae得所求曲线方程（2）22()[()]cos60yRydx采用 ， （1）式变成secu，又有 Ru 21()dux取 os60yddxx方程（2）变为 2cs1uR应用高数附录中的积分表积分 3，得， .()sin60xuchkRo60karh回到原来变量 y，有， （3）[1o*()]sinxcR 1cos60karh理论得出的结果仍然是悬链线方程。

2.1 正三角形理论证明我利用几何画板中对所求的理论值进行了模拟，并做出实物的模型来证明模拟工具几何画板是数学和物理等画图的常用工具，本文采用的是几何画板 5.01版本模拟图像如右图所示，我取 R=4 cm，则正3三角形边长为 12cm做一个边长为12cm 的正三角形，并画出三角形的重心，画出重心在一条直线上然后把 R=4 cm 带入上面的方程3（3） ，得出此时轨道方程变为， 143[*()]26xychk2arch再由几何画板画出这个函数，如图4模型验证我根据上面的数据，把图按 1:1 打印了出来，然后用硬纸板做了一个实物的模型，如图 5限于器材的原因，模型做的不是很好，样子不是很好看，但是用起来不错把轨道放一个很小的斜坡上，正三棱柱能够很轻松平稳的向下滚动足以验证上面的结论是正确的2.其它多边形轨道根据上面的理论过程，我们同样可以得出任意正多边形的滚动轨道方程，设正多边形有 n 条边，取正n 边形的 分析，即一个直角三角形 ABE.这个图与12三角形的很相似，如图 6在滚动过程中，BE 边始终与底座相切，设切点为 T，中心 A 点与 T 的连线与地平面垂直于 P要使正多边形轮子能自由滚动，中心位置应该不变，设 AB=R，则 AP=AB=R取链座某尖槽处为坐标原点建立 Oxy 坐标系。

按已知条件，取 A 至切点 T 连线并延长至P它垂直于 X 轴因中心 A 总保持同样高度故 AT+TP=R用 表示角位移因 ,180cosRnAT又令 TP=y，有 （4）180cosRnyR因 ，又 ，故得所求曲线方程tandyx22tae（5）2 211()[()]80cosdyRyxn采用 ， （1）式变成secu，又有 o60RuyR 21()dyux取 ，方程（2）变为18csdyxnx201cosudR应用高数附录中的积分表积分，得， .()180sinxuchkR180coskarhn回到原来变量 y，有， （6）[1cos*()]180sinxhkn 180coskarhn结果显示仍为悬链线方程对于这一结果，我同样可以用几何画板做出图像，然后做出实物模型进行验证，这里不再一一介绍了3.结论通过上面的分析，我们可以得出这样的结论：只要给定合适的轨道，正多边形都能自由的滚动，滚动的轨道均为悬链线方程。

这一结论不仅可以用以解释实验现象，我们可以制造出更多更有意思的物理实验仪器，甚至可以把它应用到实际生活中去，制造一些特殊的轨道，来运输物体，使物体在轨道上可以自由的滚动，离开轨道后就能静止下来参考文献： [1]阎金铎，郭玉英．中学物理新课程教学概论[M] ．北京：北京师范大学出版社， 2008:75-97．[2]漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学[M] ．北京：高等教育出版社， 2005：214 -217．[3]同济大学应用数学系．高等数学（第五版）[M] ．北京：高等教育出版社， 2002：349．作者 刘建存 15150509931 邮箱 1041485258@.com。