论数学模型在数学解题中的应用论文（设计）.doc

本科毕业论文（设计）范例学院屆本科毕业论文（设计〉论数学模型在数学解题中的应用教学部名称专业名称学 号学生姓名指导教师姓名（职称〉教务处制二O—三年x月目录翻 3Abstract -41. 弓|胃 41.1醜觀 51.2研究意义 52. 数学模型的概念及分类 62.1数学模型的概念 62.2数学模型的分类 62.3数学模型的特点 73. 数学模型方法的定义及基本步骤 73.1数学模型方法的定义 73.2数学建模方法的基本步骤 73.2.1调查研究 83.2.2现实问题的理想化 83.3.3建立模型 83.3.4模型求解 93.3.5模型分析 93.3.6模型检验 93.3.7模型的修改 103.3.8模型应用 104. 模型解题的应用 n4.1构造一次函数模型 n4.2构造不等式模型 114.3方程组建模 124.4概率与统计模型的建立 135. 培养建模能力的方法 1416紳5C献 17aw is论数学模型在数学解题中的应用摘要在现代社会，随着数学和科学技术的飞速发展，以及电子计算机的广泛使用， 科学技术数学化的进程正tl益加速任何科学技术要实现数学化，都必须首先把 研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，也就是说建立冇关 研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。

关键词：数学；数学模型；数学体系AbstractIn modern society，with the rapid development of mathematics and science and technology，and extensive use of electronic computers, science and technology of mathematical process is accelerated. Any scientific technology to realize the mathematics，must first take the object of study in mathematics language and methods expressed as mathematical system with a certain structure, that is to say the establishment of mathematical model about the object of study，this is the key to themathematics of science and technology.Keywords: mathematical; mathematical model; mathematical system1. 引言1.1研究背景目前，培养学生的数学问题解决能力己经受到世界各国教育界的重视。

美国 课程标准（1989年NCTM发表的《中小学数学课程与评估标准》）把“能够解决数学 问题”列为学校数学要达到的五个目标之一；在其分项标准中，“数学用于问题解 决”居于首位闩本数学教育界也十分重视“问题解决”，从1994年开始全面实 行新数学教学大纲，把“课题教学”列入大纲内容，而所谓“课题教学”就是以 “问题解决”为特征的数学课我国在2000年颁布的《全FI制义务教育数学课程 标准（实验稿）》首次将解决问题与数学思考、知识技能、情感与态度作为并列的 培养目标学生数学问题解决能力的培养己经成为一个公认的教育培养重点，如 何培养学生的问题解决能力随之受到研宄者的关注1.2研究意义把数学模型应用于数学解题中，第一，实际问题转化为一个数学问题，能够 激发学习兴趣，把生硬抽象的学科理论具体化形象化，能够让学生对知识进行探 索而不是死记硬背；第二，培养学生解决实际问题的能力，找到到适合自己的学 习方法；第三，对不少复杂的问题，如果有意识地引导学生从题目特点出发，恰 当地构造代数，几何等数学模型，不仅能在解题时另辟蹊径，避繁就简，而且也 能培养学生构建数学模型的能力，能够激励学生不断前进；第四，培养数学的创 新思维能力，能够把一个问题采取不同的方式去解决，能够发现不一样的重点： 第五，能够扩展知识面，通过数学知识了解其他的领域。

可见，把数学模型应用 于数学解题中的必要性2. 数学模型的概念及分类2.1数学模型的概念数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模 型系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的 补充手段，是预测和决策的重耍工具，是推进科技发展的依据数学的抽象化、 公理化的概念和方法，体系十分严谨数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的 几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理数学模型既然是对所研究的实际对 象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质 的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中 常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主耍性质和因素，因此数学模 型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和 模拟2.2数学模型的分类常见的数学模型分类有以下几种：按数学模型的功能可分为定量的和定性的按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的按数学模型所研宂对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连 续的和离散的，或线性的和非线性的。

按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控 制论模型，逻辑模型，扩散模型，……按数学模型研宂对象的实际领域可分为人门模型，交通模型，生态模型，生 理模型，经济模型，社会模型.，工程系统模型，……按数学模型研究对象的/解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等2.3数学模型的特点第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构， 这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一 种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物 相近的一类问题第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算 机第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机 通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理3. 数学模型方法的定义及基本步骤3.1数学模型方法的定义数学模型方法(MathematicalModelingMethod)是利用数学模型解决问题的一 般数学方法，简称丽方法它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的小 可或缺的方法，无疑，数学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种 方法，最人可能地培养其构造数学模型的能力。

这绝对小是一个轻松的过程首 先，学生必须先掌握一定的数学知识，让他们学“杂” 一些，使得建立模型解题 才有丫可能性厂其次，要让学生多接触题目，多动脑3.2数学建模方法的基本步骤一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种.机理分析是 根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有 明确的物理意义测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”(不考虑内部机理)， 通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型建模的步骤一般分为下列几步:3.2.1调查研究在建模前应对实际问题的历史背景和内在机理要有深刻的了解，必须对该问 题进行全而的、深入细微的调奔和研宂.首先要明确所解决问题的FI的要求和着 手收集数据.数据悬为建立模型而收集的.因此，如果在调查研宂时对建立什么 样的模型有所考虑的话，那么我们就按模型的需要更有目的地，更合理地来收集 有关数据.收集数据时应注意精度的要求，在耐曩；际问题作深入了解时，应向 有关专家或从事实际工作的人员请教将使你对问题的Y解更快和走捷径3.2.2现实问题的理想化现实问题错综复杂，涉及面非常之广.因此要想建立一个数学模型来反映一 小现实问题面面俱到、无所不包是不可能的，也是没有必要的.一个模型，只要 能反映我们所需要的某一 ‘个侧面就行了，或者在此基础之上进一步提高.建模 前必须先将问题理想化，简单化，即首先抓住主要因素。

暂不考虑次要因素.在 相对比较简单的情况下，理清变量之闻的：廷系，建立树座的模型（读者在三级火 箭模型，人口模型和传染病传播模型中会冇较深的体会）_勾此对昕给问题给予必 要的假设，不同的假设会得到不同的模型这一步是建立模型的关键.如果假设 合理，则模型与实际问题比较吻合；如果假设不合理或过于简单（即过爹地忽略了 一些因素），则模型与实际情况不吻合，或部分吻合，就要修改假设，修改模型3.3.3建立模型在已有假设的基础上，可以着手建立数学模型，建模时应注意以下儿点：（1）分清变量类型恰当使用数学工具如果实际问题中的变量是确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、网络、投入产 出、确定性存贮论等.如果变量是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、 随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等.由于数学分支很多, 乂加之相互交叉渗透，派生出许多分支.建模具体用什么舒芝好，一是因问题而 异，二是因人而异应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长总之，对变量进行分析是建立模型的基础2) 抓住问题的本质，简化变量之间的关系因为模型过于复杂，则无法求解 或求解困难，就不能反映客观实际.因此应尽可能瑚简单的模型如线性化，均匀 化等来描述客观实际.建模的原则是：模型尽可能简单、明了.思路清晰，能不 采用则尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，侧重于实际应喇.只 要问题能解决，模型越简单越能被决策者所采用。

3) 建模要有严密推理.在已定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保 证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃4) 建模要有足够的精确度由于实际问题常对精度有所要求，建模时和收集 资料时要予以充分考虑.但同时实际问题乂非常复杂，作假设时乂要去掉非本质 的东西，把本质的东西和关系反映进去.因而要掌握好这个尺度，有时要有一个 反复摸索的过程3.3.4模型求解不同的模型要用到不同的数学工具求解.这就要求从事实际工作者对相应的 数学分芰知识有一定的了解.当然，由于计算机的广泛使用，利用己有的许多计 算机软件为我们求解带来方便.因而尽可能地掌握已有的软件，使你解决问题省 力不少.3.3.5模型分析对模型求出的解进行数学上的分析，冇助于对实际问题的解决.分析时，冇 吋要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定惶进行分 析奋吋根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测，为决策者提供最优决策 方案除此之外，常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性分析和灵敏度分 析等3.3.6模型检验一个模型是否反映了客观实际，可用已有的数据去验证.如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型是成功的（至少是在过去的一段时间 内）.如果理论数值与实际数值差别太大，则模型是失败的.如果理论数值与实际 数值部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型.如果模型用于预测，若模型 计算的理论预测值与经验推算比较相差太大，也可推知模型存在问题，必须修改 （如人E1问题中的Malthus模型用于预测儿百年后的人口数显然差别太大）.当然， 并非所有的模型。