对无外力矩作用的刚体定点转动分析.doc

对无外力矩作用的刚体定点转动分析精仪系 机 15 班 李桦 010646［摘要］［摘要］通过对无外力矩作用下的刚体定点转动的分析，来进一步说明刚体绕最小 惯性矩的主轴转动而丧失稳定性的原因［关键词］［关键词］惯性主轴、力矩［引言］［引言］1985 年美国发射的探险者 1 号卫星的形状酷似一个细长的回转体，如图所 示该卫星在运行中绕对称轴自转，同时卫星体z上 附有极易变形的四根天线，结果发现飞行不到一圈，卫 星的姿态角从 0 度变到约 60 度，从而没有达到预期的 效果下面就让我们就这个问题来讨论一下无外力矩 作用的刚体定点转动的情况［正文］［正文］所谓无外力矩作用的刚体定点转动是指刚体在转动时只有一个固定支撑点， 并与刚体的质心相重合，没有其他外力矩作用，重力通过支撑点也不产生力矩 此时，刚体由于惯性而运动 由欧拉动力学方程和外力矩为零的条件可得式式 1.1：()0 ()0 ()0ApCB qr BqAC rp CrBC pq  & & &其中 p、q、r 分别表示角速度 ω 在惯性主轴上沿 x、y、z 的三个分量，而 A、B、C 分别表示相应的主惯性矩。

一、刚体绕惯性主轴转动的运动稳定性一、刚体绕惯性主轴转动的运动稳定性我们如果要直接求解式 1.1 时很困难的，因此在这里只讨论某些重要的特 殊运动的稳定性有关运动稳定性的基本概念是：设某一系统的状态可用变量来表示，用来表示系统的某一平衡位置，用表示某一种特殊的运动 )x t0x0( )x t如果在小扰动的作用下，差值总保持很小，亦即系统并不远离平衡位置0( )x tx，则称是稳定的平衡位置，反之则该平衡是不稳定的，故实际上也是不可0x0x能存在的同样，当差值始终保持很小时，则称运动是稳定的0( )( )x tx t0( )x t运动 对于式 1.1，我们应先寻找到特解，然后在小扰动作用下，得到受扰方程， 再根据某些判据来判断稳定性 通过观察式 1.1，我们可以找到一个特解，即p = p0 = 常值， q = r = 0 这也就是刚体绕惯性主轴 x 转动时的情况，此时 ω 与 x 轴重合，大小为常值 而此时的运动称为系统的一种不受扰运动如图所示为讨论稳定性，我们给予该运动一小扰动，即让 ω 偏离 x 轴，并使 ω 在 x 轴的分量为 p = p0 + ε，ε 是一小量， 而 ω 在 y、z 轴上的分量不再为零，即 q、r 是具有与 ε 同数量级的小量，如图 所示。

因为受扰以后的运动仍满足式 1.1，那么将 p = p0 +ε ,q，r 代入可得00()()0 () ()0()()0A pCB qr BqAC r pCrBA pq   &&&&我们应该注意到式中的，并略去二阶小量，，等，那么上式00pp&&qrrq就可化为式式 1.21.2000 ()0()0A BqAC p rCrBA p q  &&&这就是运动的受扰运动方程将其中的第二项对时间求一次导0,0pp qr数，并把第三式代入得式式 1.31.32 0()()0ACABqp qBC& &同理，我们对式 1.2 中的第三式求时间的一次导数，并将第二式代入得式式 1.41.42 0()()0ACABrp rBC& &因为 A、B、C 都是正数，所以只要()()0ACAB式 1.3 和式 1.4 中左边的第二项的系数就是正的，这就意味着两式分别对应 q 和 r 有周期性的解加上式 1.2 的第一式，我们可以判断在对应的运动加以小扰动以后，p、q、r 的变化始终只有初始扰动0,0pp qr的数量级，这也就是说在受扰以后，并不远离绕惯性主轴力的运动，因而我0们说绕惯性主轴的运动在满足的条件下，运动是稳定的。

)()0ACAB接下来让我们分析一下这一条件的物理意义满足这一()()0ACAB条件只有两种情况： 1、同时ACAB 也就是说，如果在三个主惯性矩中，A 是最大的情况下，绕 A 所对应的惯性主 轴的转动是稳定的从这得出的一般结论是“刚体绕最大惯量主轴旋转的运动 是稳定的 ” 2、同时ACAB 也就是说，如果在三个主惯性矩中，A 是最小的情况下，绕 A 所对应的惯性主 轴的转动是稳定的从这得出的一般结论是“刚体绕最小惯量主轴旋转的运动 是稳定的 ”同理，我们可以对相反的情况即进行分析，可以得到下面()()0ACAB这个结论“刚体绕中间大小的惯量主轴的旋转运动是不稳定的 ” 综合上述的分析，关于刚体绕惯性主轴转动的稳定性结论是“刚体只有在 绕具有最大或最小主惯矩的惯性主轴的转动是稳定的 ” 这里有一点需要强调 的是，这个结论仅仅是针对刚体而言的对于实际有变形的物体，无论在理论 上还是在实践上都已证明，只有绕最大惯量的主轴转动是稳定的，而绕其它的 惯性矩的主轴都是不稳定的下面我们针对旋转对称刚体来证明一下“绕最大 惯量的主轴转动才是稳定的” 二、旋转对称刚体二、旋转对称刚体如果刚体是旋转对称的特殊情况，比如 z 轴是对称轴，那么就满足 A=B 的 条件，这时的式 1.1 便可化为式式 1.51.5()0 ()00ApCA qr AqAC prCr  & &&从其中的第三式很容易得到一个积分0rr常值这里，我们利用一些已有公式得出 A=B 时的能量关系，可得式式 1.61.6222222()HApqC r式式 1.71.72222()TA pqCr在式 1.7 两边同乘以 A,并减去式 1.6 得式式 1.81.8222()HATC CA r如果令旋转对称轴z 与 H 的 夹角为，如图所示，那么式式 1.91.9coszHCrH将之代入式 1.8 得2 222()cosHHATCAC由此可解出旋转对称刚体定点转动时动能 T 与 H 和角之间的关系如下式式 1.101.102 21 (1)sin2HCTCA图中表示了以为参数的动能 T 和角的变化关系曲线族。

其中相当于C A0C A无限长的细圆柱杆；相当于无限大的圆薄板2C A通过图示的关系，我们可以从能量的角度来讨论刚体绕惯性主轴转动的稳 定性在的情况下，从图示的关系得知，在处的动能取得极小值因1C A0此，要偏离的位置，能量就必须增加但是在无外力矩作用的情况下，动0 能是守恒的，即在无外加能量时，的情况是不会改变的这时所对00 应的运动也就是刚体绕惯性主轴 z 的转动运动是稳定的换句话说，就是绕最 大的惯性主轴的旋转是稳定的当时，通过与上面相同的方法分析可得，在理想情况下，只要保持能1C A量不损耗，就能稳定的位置但实际上这种情况是不可能的，因为对于真0 实的弹性体而言阻尼是存在的，运动过程难免就要消耗能量，所以不能稳定 的运动状态0 由此我们得到了一个重要的结论：在的条件下，不管是刚体或是弹CA 性变形体，绕惯性主轴 z 的转动是稳定的在的条件下，对理想刚体绕CA z 轴的转动仍然是稳定的，但对实际的弹性变形体则是不稳定的也就是说， 对与实际的弹性变形体，只有绕具有最大惯性矩的主轴转动才是稳定的这个 结论具有重要的实际意义 探险者 1 号卫星是一个细长的回转体，该卫星在运行中绕对称轴转动属于 的情况，而它的四根天线由于飞行中产生弹性变形而不断耗散能量，所CA 以不能达到预期的效果。

这就是我们所观察到的由于刚体绕最小惯性矩的主轴 转动而丧失稳定性的实例在探险者 1 号以后发射的 Telstar 通讯卫星是绕其 最大惯性矩主轴自转的，所以很好地实现姿态稳定的飞行参考文献：刘希珠 雷田玉 陀螺力学基础 清华大学出版社 1987 年。