4.4 第4课时 黄金分割-2022-2023学年九年级上册初三数学(北师版).docx

4.4 第4课时 黄金分割-2022-2023学年九年级上册初三数学(北师版)一、黄金分割简介黄金分割，又称黄金比例、黄金比等，是数学中一个重要而神秘的比例关系它是指将一条线段分割为两部分，使整条线段长度与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分的长度之比黄金分割的比例常用希腊字母 φ（phi）表示，其值约等于1.618黄金分割在数学中的应用非常广泛，它不仅在几何中有独特的美感，还被广泛应用于建筑、艺术、音乐等领域在设计中使用黄金分割可以使作品更加和谐、美观，具有更好的视觉效果二、黄金分割的性质1. 两个部分的比例关系：黄金分割将一条线段分为两个部分，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，即 a/b = (a+b)/a = φ，其中 a 为较短部分的长度，b 为较长部分的长度，φ 为黄金分割比例2. 黄金分割比例的数值：黄金分割比例 φ 约等于 1.618，是一个无理数，具有无限不循环小数的性质黄金分割比例可以通过求解 φ^2 = φ + 1 的正根得到3. 重要比例关系：对于一条线段，如果将整条线段分为两个部分，使较长部分与整条线段的比例等于黄金分割比例 φ，则这两个部分的比例关系被称为黄金分割比例。

黄金分割比例被认为是最具美学、和谐感的比例关系4. 黄金矩形：如果一个矩形的长边与短边的比例等于黄金分割比例 φ，则这个矩形被称为黄金矩形黄金矩形在艺术与建筑设计中被广泛应用，因为它具有更好的视觉效果，被认为是一种美学的标准三、黄金分割的应用1. 建筑设计：黄金分割在建筑设计中起到重要的作用许多世界上著名的建筑物，如古希腊的帕特农神庙、埃及的金字塔等，都采用了黄金分割比例来设计其外形和内部结构黄金分割使建筑物更加对称、和谐，给人以美感2. 艺术创作：黄金分割在绘画、雕塑等艺术创作中被广泛运用艺术家可以运用黄金分割比例在作品中确定各个元素的位置，使得作品更加美观、和谐许多伟大的画作和雕塑作品都采用了黄金分割比例来构图3. 乐曲构成：黄金分割在音乐中也有应用许多作曲家在作曲时会使用黄金分割比例来确定乐曲的结构和编排黄金分割比例在乐曲的动态平衡和和谐感方面起着重要的作用4. 数学研究：黄金分割是数学中一个重要的研究对象数学家通过研究黄金分割的性质和应用，开展了许多相关的数学理论和定理黄金分割也与其他数学领域有着紧密的联系，如斐波那契数列、黄金角等四、黄金分割的计算方法黄金分割是一个无理数，不能被精确地表示为有限小数或分数。

然而，我们可以通过近似的方法计算黄金分割的值最常用的计算方法是通过求解 φ^2 = φ + 1 的正根得到，即 φ = (1 + √5) / 2，约等于 1.618除此之外，还有一些其他的数学方法和公式可以用来计算黄金分割的近似值，如连分数表达式、递归公式等五、黄金分割的实例分析例题：已知 AB 是一条线段，C 是 AB 的一个点，且 AC/BC = φ，求证：AC + CB/AC = φ证明：设 AC = x，BC = φx，根据黄金分割的性质，有 φx/x = (x + φx)/x = φ将等式 φx/x = (x + φx)/x 化简，得 φ = (x + φx)/x，移项得 φx = φx + x，去掉公共项得 x = φx，证毕六、小结黄金分割是数学中一个神秘而重要的比例关系，它在几何、建筑、艺术、音乐等领域都有广泛的应用黄金分割比例被认为是最具美学、和谐感的比例关系，对于创作和设计具有重要的指导作用通过计算方法和实例分析，我们可以更好地理解和应用黄金分割在学习数学的过程中，加深对黄金分割的理解，有助于培养审美能力和创造力，提高对数学的兴趣和理解。