离散数学第4章代数系统.ppt

1,离散数学,西安交通大学 电子与信息工程学院 计算机系,2,离散数学,§5.环 环的基本概念 环的基本性质 无零因子环和含零因子环 整环与除环,3,离散数学,§5.环 定义1.环(ring) 设(R, , )是代数系统， 和是R上的两个二元运算，若 (1) (R, )是交换群； (2) (R, )是半群 ； (3) 对满足分配律：对任何a,b,cR，都有 a(bc)=(ab)(ac) (bc)a=(ba)(ca) ； 则称 (R, , )是环 注：在环中，由于(R, )是群，故关于有幺元存在，将关于的么元记为0，称为环的零元 在环中，由于(R, )是群，故R中每个元素有逆元，设aR，将a关于的逆元记为-a ，称为a 的负元，且将a (-b)简记为 a-b,4,离散数学,(即在环中可定义减法运算) 在环中，对于运算，若有幺元，则记为1或e 在环中，设aR ，若a关于有逆元，则记为 a-1 以后谈到环，只讨论|R|2的情况，即不讨论一个元素的环 在环的定义中，不要求对满足分配律，只要求 对满足 分配律。

例1.(I,+,)是环我们称此环为整数环 这里：I是整数集合，+和是整数的普通加法运算和普通乘法运算由前两节知 (1)(I,+) 是交换群； (2)(I, )是半群； (3)对+满足分配律：由算术知识知整数乘法对整数加法满足分配律即a,b,cI 有 a (b+c) = (a  b)+(a  c) 由的交换律知对+满足分配律； 由环的定义知(I,+, )是环5,离散数学,例2.(Mnn,,+, )是环我们称此环为矩阵环 这里：Mnn是 n  n阶实矩阵的全体，＋与是矩阵的加法运算和乘法运算由前两节知 (1) (Mnn,,+)是交换群； (2) (Mnn,,)是半群； (3)对+满足分配律：由线性代数知，矩阵乘法对矩阵加法满足分配律即  A ,B, CMnn,有： A(B+C)=(AB)+(AC) (B+C)A=(BA)+(CA)； 由环的定义知(Mnn,,+, )是环6,离散数学,例3.(Nm,+m,m)是环我们称此环为整数模环 这里：Nm={[0]m,[1]m,…,[m-1]m}，+m和m是Nm上的模加运算和模乘运算。

由前两节知 (1) (Nm,+m)是交换群； (2) (Nm,m)是半群； (3)m对+m满足分配律：由于[i]m,[j]m,[k]mNm ,有 [i]m m([j]m +m[k]m) = [i]m m[(j+k) mod m]m =[(i (j+k)) mod m]m =[((i j)+(i k)) mod m]m =[(i  j) mod m]m +m[(i  k) mod m] =([i]mm[j]m)+m([i]mm[k]m) 由m的交换律知m对+m满足分配律； 由环的定义知(Nm,+m, m )是环7,离散数学,例4.(2X,,)是环我们称此环为X的子集环 这里：X是一个非空集合， 2X 是X的幂集， 是集合的对称差运算, 是集合的交运算由前两节知 (1) (2X ,)是交换群； (2) (2X , )是半群； (3)对满足分配律： 由第一章§2定理6(8)知集合的交运算对对称差运算满足分配律即a,b,c2X ，有 A(BC)=(AB)(AC) 由的交换律知对满足分配律； 由环的定义知(2X,, )是环8,离散数学,例5．(P[x],+, )是环。

我们称此环为多项式环 这里：P[x] 是实系数多项式的全体，+和是多项式的 加法运算和乘法运算，由前两节知 (1) (P[x],+)是交换群； (2) (P[x],)是半群； (3)对+满足分配律： 由于实数乘法对实数加法满足分配律，故多项式乘法对多项式加法满足分配律即h(x), p(x),q(x)P[x], 有 h(x)(p(x)+q(x)) = (h(x)p(x))+(h(x)q(x)) 由的交换律知对+满足分配律； 由环的定义知(P[x],+, )是环9,离散数学,定义2.交换环 含幺环 交换含幺环 设(R,,)是环 (1)若运算满足交换律，则我们称(R,,)是交换环 (2)若关于运算有幺元，则我们称(R,,)是含幺环 (3)若运算满足交换律又关于运算有幺元，则我们称(R,,)是交换含幺环10,离散数学,例8．在前面的例子中 (1)整数环(I,+,)是交换含幺环；关于运算的幺元是1； (2)矩阵环(Mnn,,+,)是含幺环，但不是交换环；关于运算的幺元是单位矩阵E，矩阵乘法没有交换律； (3)整数模环(Nm,+m,m)是交换含幺环；关于m运算的幺元是[1]m ； (4)X的子集环(2X,,)是交换含幺环；关于运算的幺元是X； (5)多项式环(P[x],+,)是交换含幺环；关于运算的幺元是零次多项式1；,11,离散数学,定理1.环的基本性质 设 (R,, )是环。

则a,b,cR,有 (1)零元： 0a = a0 = 0 (加法幺元是乘法的零元)； (2)正负、负正得负：a(-b) = (-a)b = -(ab)； (3)负负得正：(-a)(-b) = ab； (4)(-1)a = -a (-1是乘法幺元1的负元) ； (5)(-1)(-1)=1 (-1的乘法逆元是其本身，即(-1)-1=-1)； (6)左分配律：a(b-c)=(ab)-(ac) (乘法对减法的) ； 右分配律：(b–c)a=(ba)–(ca) (乘法对减法的) 注：由定理1(1)的结论知，在环(R,,)中，关于运算的幺元就是关于运算的零元由于(R,)是交换群，故关于运算的幺元一定存在，因此关于运算的零元也一定存在由于在一个代数系统中，零元是没有逆元的，因此在环(R,,)中，(R,)不能构成群12,离散数学,[证].(1)只证a0 = 0 a0 = (a0)0 = (a0)((a0)-(a0)) = (a0)((a0)(-(a0))) = ((a0)(a0))(-(a0)) (结合律) = (a(00))(-(a0)) (分配律) = (a0)(-(a0)) (00 = 0 ) = (a0)-(a0) = 0 ；,13,离散数学,(2)只证a(-b)= -(ab) a(-b)= (a(-b))0 = (a(-b))((ab)-(ab)) = (a(-b))((ab)(-(ab))) = ((a(-b))(ab))(-(ab)) (结合律) = (a((-b)b))(-(ab)) (分配律) = (a0)(-(ab)) ((-b)b= 0 ) = 0(-(ab)) (根据(1) a0 = 0) = -(ab) ；,14,离散数学,(3)(-a)(-b) =-(a(-b)) (根据(2)) =-(-(ab)) (根据(2)) =ab (反身律) ； (4)(-1)a =-(1a) (根据(2)) =-a ； (5)(-1)(-1)=11 (根据(3)) =1 ； (6)只证a(b-c) = (ab)-(ac) a(b-c) = a(b(-c)) = (ab) (a(-c)) (分配律) = (ab) (-(ac)) (根据(2)) = (ab)-(ac) 。

15,离散数学,定义3.含零因子环 无零因子环 设(R, , )是环若在环(R, , )中 (1)(aR)(bR)(a0b0ab=0)，则称环(R, , )是含零因子环；称a是环中的左零因子，称b是环中的右零因子； (2)(aR)(bR)(a0b0ab0)，即环中无零因子(no nil-factor) ，则称环(R, , )是无零因子环 注：所谓含零因子，就是环中的两个元素，它们本身不是关于运算的零元，但它们的运算结果却是零元；于是就称此环为含零因子环 当一个环是交换环时，左零因子也就是右零因子，反之亦然；在这种情况下，左零因子、右零因子统称为零因子 如果在环中，不存在满足上述条件的元素，就称此环为无零因子环16,离散数学,例9.整数环(I,+, )是无零因子环 已知(I,+, )是环，由于任意两个不为零的整数相乘,其积不为零，故由定义3知(I,+, )是无零因子环 例10.矩阵环(Mn  n ,+, )是含零因子环 已知(Mn  n ,+, )是环(n2)不妨设n=2，于是有 即两个不为零的矩阵相乘其积为零矩阵。

由定义3知是(Mn  n ,+, )含零因子环17,离散数学,例11.整数模环(Nm,+m,m)， 当m为素数时，是无零因子环； 当m不是素数时，是含零因子环 (1)当m为素数时，对任意的 [i]m，[j]mNm，[i]m [0]m ， (即i  pm),[j]m [0]m (即j  qm),从而有i  j  km (否则，i  j = km ，由m是素数，则必有m i或m j，于是有 i = pm或 j = qm，矛盾)，即有 [i]m  m[j]m = [(i  j)mod m]m [0]m 即两个不为零的元素经过m运算后不为零 由定义3知(Nm,+m,m)是无零因子环 (2)当m不是素数时，必存在着[i]m，[j]mNm，[i]m [0]m ，[j]m [0]m ，使得 m = i  j ，即有 [i]m  m[j]m = [(i  j)mod m]m = [0]m 即[i]m ，[j]m是Nm中的零因子 由定义3知(Nm,+m,m)是含零因子环18,离散数学,例12.X的子集环(2X,,)是含零因子环 已知(2X,,)是环，其零元是空集。

设|X|2,任取a，bX，且a  b，于是有{a},{b}2X且{a},{b}，使得{a}{b}= 即两个不为零的元素相交后为零元 由定义3知(2X,,)是含零因子环 例13.多项式环(P[x],+, )是无零因子环 已知(P[x],+, )是环，由于两个非零多项式相乘其积仍为一非零多项式，由定义3知(P[x],+, )是无零因子环19,离散数学,定义4.整环(integral domain) 交换含幺的无零因子环称为整环 注：整环又称为整区 定义4.除环(division ring) 每个非零元都有(乘法)逆元的含幺环称为除环即，若含幺环(R, , )满足： (aR)(a0a-1R) 则称其为除环20,离散数学,例16．在前面的例子中 (1)整数环(I,+,)是整环：因为整数环(I,+,)是交换含幺环(例8(1))，又是无零因子环(例9) 但整数环(I,+,)不是除环：因为在整数环(I,+,)中，除幺元1及其负元-1外，其它非零整数aI(a0)都没有 (乘法)逆元(a-1 =1/aI) (2)矩阵环(Mnn,,+,)不是整环：因为矩阵环(Mnn,,+,)不是交换环,矩阵的乘法没有交换律(例8(2)) ，而且还是含零因子环(例10) 。

矩阵环(Mnn,,+,)也不是除环：因为矩阵环(Mnn,,+,)中一些非零矩阵(行列式是零)关于矩阵乘法没有逆元(逆矩阵) 。