六年级奥数总复习-教师版(一……六讲)修改版.doc

六年级奥数讲义第 1 页 共 111 页第一讲第一讲 分数的速算与巧算分数的速算与巧算教学目标教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1⑴ 裂项：裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2⑴ 换元：换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式 3⑴ 循环小数与分数拆分：循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4 4、通项归纳法、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加 简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合一、裂项综合 （一）（一） 、、 ““裂差裂差””型运算型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1 ab 1111()abba ab (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn，1 (1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转 化为分子都是 1 的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值 （二）（二） 、、 ““裂和裂和””型运算：型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abab abababba（2）2222ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为 “分数凑整”型的，以达到简化目的 （三）（三） 、整数裂项、整数裂项(1) 1 22334.(1)nn  1(1)(1)3nnn(2) 11 23234345.(2)(1)(2)(1) (1)4nnnnnn n     二、换元二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转 化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数三、循环小数化分数 1 1、循环小数化分数结论：、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数六年级奥数讲义第 2 页 共 111 页分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧· 0.9aa ； · · 0.99abab ； · ·10.09910990ababab ； · · 0.990abcaabc，……2 2、单位分数的拆分：、单位分数的拆分：例：例：1 10= =11 2020= =   11= =   11= =   11= =   11分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n,有： 11() ()()()mnmn NN mnN mnN mn=11 AB本题 10 的约数有:1,10,2,5.。

例如：选 1 和 2，有： 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015本题具体的解有： 111111111 1011110126014351530例题精讲例题精讲模块一、模块一、分数裂项【【例例 1】】11111 1 23423453456678 978 9 10          【【【解析解析解析】】】原式1111111 31 2323423434578 98 9 10      111 31 238 9 10  119 2160【【【【巩固巩固巩固巩固】】】】3331 234234517 18 1920    【【【解析解析解析】】】原式11111113 [(.)]31 2323423434517 18 1918 1920     113 192011139 1 2318 192018 19206840 【【例例 2】】计算：计算：5719 1 232348 9 10    ．．【【【解析解析解析】】】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等 差数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2，4，6，……这一公差为 2 的等差数列(该数列的第n个数恰好为 n的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一 个的和再进行计算．原式3234316 1 232348 9 10   六年级奥数讲义第 3 页 共 111 页111128321 232348 9 101 232348 9 10      11111111113221 22323348 99 1023349 10311111111221 29 1023349103111122290210711 4605 23 15也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n ，所以    2323 121212n nnnnnnnn，再将每一项的 2 12nn与 3 12nnn分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【【【【巩固巩固巩固巩固】】】】计算：计算：57171911552343458 9 109 10 11   （） 【【【解析解析解析】】】本题的重点在于计算括号内的算式：571719 2343458 9 109 10 11   ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情 况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 观察可知523，734，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719 2343458 9 109 10 11   2334910 2343459 10 11  111111 3424453 510 119 11111111 344510 11243 59 1111111111111111111 3445101122435468109111111111 31122103118128 33253331 55所以原式31115565155．【【【【巩固巩固巩固巩固】】】】计算：计算：34512 1 24523 56346710 11 13 14       【【【解析解析解析】】】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分 子、分母都乘以分子中的数．即：原式222234512 1 2345234563456710 11 12 13 14         现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：231 54 ，24264，253 74……【【【解析解析解析】】】原式222234512 1 2345234563456710 11 12 13 14         1 542643 7410 144 1 2345234563456710 11 12 13 14         六年级奥数讲义第 4 页 共 111 页1111 23434545611 12 134444 1 2345234563456710 11 12 13 14             1111111 22334344511 1212 13111111 1 23423452345345610 11 12 1311 12 13 14         11111 22312 131 23411 12 13 14   1111 122 12 132411 12 13 141771 811 12 13 1411 82 11 141175 8308616【【例例 3】】12349 223234234523410    【【【解析解析解析】】】原式12349 223234234523410     213 141101 22323423410   1111111122232323423492349 10      1362879912349 103628800   【【例例 4】】1111 11212312100【【【解析解析解析】】】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112 (1 1) 111 2 2，112 (12)21223 2，……， 原式22221200992(1)11 22334100 101101101101【【【【巩固巩固巩固巩固】】】】23450 1 (12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)原式。