椭圆中的伸缩变换.docx

利用仿射变化解决椭圆问题x 2 y 2椭圆一 + 1 = l,(a > b > 0)经变换｛a 2 b 2x = Xb后变成圆X2 + Y2 = a 2,在此变换下有 y = Ya以下一些性质：aQ点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的厂倍baQ直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的丁倍bQ平行线经变换后仍平行Q区域D变换后成为D，则面积S = aSD b DQ两平行线段的比是不变量1a 2Q线段PQ经变换后变为PQ，贝y: IPQ 1=1 PQ L.cos2a + —b 2 sm2 aX 2 y 21.求证：直线1 : Ax + By + C = 0与椭圆 + - = 1, (a > b > 0)相切的充要条件是:a 2 b 2证明：作仿射变换：\(aA)2 + (bB )2 = C 2f x = Xy = -Ya椭圆变为圆：X2 + Y2 = a2bB直线l变为l ': AX +——Y + C = 0a直线l'与圆相切的充要条件是圆心到直线l'的距离7 I C Id =-j A2 +a 2整理得：(aA)2 + (bB)2 = C2 •••原命题得证x 2 y 22直线y二k(x- m)与椭圆：一 + 1二1交于M, N两点，试求I MN Ia 2 b 2解：过右焦点作MN的平行线b 2易知：|FM'|= 一a + c cos U|FN卜b 2a 一 c cos U2ab 2p = |M N'| 二a2 一 c2 cos2 U作仿射变换1x = XbY，y =-a椭圆变为圆：X2 + Y2 = a2直线 l 变为：akX — bY — akm = 0MN直线 l 变为：akX — bY — akc = 0M N'圆心到两直线的距离分别为I akm II akc Id = ， d =1 v;(ak )2 + b 2 2 \.；(ak )2 + b 2弦长分别为：LiI(a 2 — m 2)k 2 + b 2 二 2a2abpk2 +1，v (ak )2 + b 2长度之比是仿射不变量MN 二2 — m 2 )c 2 + b2\ b 2 k 2 + b 22 + b2•P2ab 2( + k 2)a 2 k 2 + b 2。