第三章 晶体的宏观对称.docx

第三章 晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物 体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位 置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复一、几个相关术语1. 等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作； 3.对称元素；4.关于左右型图形 的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次二、宏观对称元素1. 反映对称面（符号用P）;描述：面不动，阶次为22. 对称中心（符号用C）：描述：点不动对称中心可以产生左右型、阶次为23. 旋转对称轴（用Ln表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画 图并作几何推导）对称定律：对应的对称轴只可能是L]、L6、L4、L3、L24. 旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动基转角、旋转反伸对称轴次、 先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n 反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L]=C）（证明） 二次反伸轴等于对称面（ L-2=P） （证明） 三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（l3=l3c）（证明） 四次反伸轴无等价对称操作（独立） （证明）六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（l6=l3p，优选l6）（证明） 所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L4和六次反伸轴L6两种。

三、 宏观对称要素和点阵的几何配置1. 对称中心对应于点阵点2. 旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3. 对称面对应于点阵面（包含平行）四、 宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心 对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶 对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在 一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第 三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果下 面研究这种组合规律一、反映对称面-反映对称面间的组合规律定理：两个反映对称面相交，其交线为旋转对称轴旋转对称轴的基转角为 反映对称面交角的二倍（证）推论：基转角为a的旋转对称轴可分解为（注：不一定真实存在）两个反映 对称面的连续操作，两个反映对称面的夹角为a/2二、 反映对称面-旋转对称轴组合规律定理：当一个反映对称面包含一 Ln时，必然有n个P同时包含Ln三、 旋转对称轴与对称中心的组合 定理：如果偶次对称轴上有对称中心，那么必有一对称面与对称轴垂直相交 于对称中心。

推论1：在有对称中心时，若还有偶次对称轴，偶次对称轴的数目和对称面的数目相等推论2：对称面和偶次对称轴垂直，必有对称中心 推论3：对称面和对称中心存在时，必有一垂直对称面的二次对称轴四、 旋转轴之间的组合定理1：如果有一个L2垂直Ln，则必然有n个L2垂直Ln相邻L2的夹角是Ln基 转角的一半推论：两个二次轴相交，交角为a,则垂直于这两个二次轴必然有一基转角 为2a的n次对称轴定理2：（欧拉定理）：两个对称轴的适当组合可产生第三个对称轴五、 旋转反伸轴与二次对称轴和对称面组合定理：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反 伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的 组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它）第三节、32种对称型（或32种点群）在晶体宏观对称性中，对称要素的数目是有限的，根据对称要素的组合规律 可推导出的对称要素组合的数目也是有限的，共计32种，我们称之为32种对 称型由于在每种对称要素组合中，所有的对称要素相交于一点，换句话说，在每 种对称要素操作过程中，至少有一点是不动的所以，按照数学中群论的观 点，这些对称要素的集合构成了一个群（符合群的基本属性），每种对称要 素就是群中的元素。

这些群元素在空间上相交于一点，所以我们也常将 32 种对称型称之为32种点群一、32种对称型推导从前述内容可知，宏观晶体中可能存在的对称要素有：旋转对称轴：L" L2、L3、L4、L6；反映对称面： P（L-2=P）对称中心： C（L-1=C）旋转反伸轴：（l_i= c、l2=p、l3= l3c）、l-4、l-6= l3p；共计9种，这9种毒称要素可单独存在，就构成了 9种对称型下面推导由这九种对称要素组合所产生的新的对称型为了便于推导，我们一般将这些对称要素的组合分成两类：将高次轴（ n>2）不多于一个地组合称为A类，将高次轴多于一个的组合称为B类先考虑A类：1. 对称轴与对称轴的组合，只有两种组合关系：垂直和包含先考虑l2与 L垂直组合，根据定理“如果有一个L2垂直L，则必然有n（L2垂直L，n 2 n 2 n相邻L2的夹角是Ln基转角的一半即L2+ Ln= Ln n L2组合所产生的新的 对称型有：（L]L2=L2）、3L2、L3 3L2、L4 4L2、L6 6L2,共计4种2. 对称轴与垂直它的对称面组合,可产生的新的对称型有：（L]P=P）、L2 PC、（L3P=L6）、L4 PC、L6 PC,共计3种。

3. 对称轴与包含它的对称面的组合，可产生的新对称型有：（L]P=P）、L2 2P、L3 3P、L4 4P、L6 6P，I共计4种4. 对称轴同时与垂直它的对称面和包含它的对称面组合，可产生的新的对称型有： （ L1L2P=L22P ）、3L23PC、 （ L33L24P=L-63L23P ）、L44L25PC、L66L27PC,共计 3种5. 旋转反伸轴与垂直它的L2 （或包含它的P）的组合，可形成的新的对称型 有（定理有：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称 面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P 包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它））： L-33L23P=L33L23PC^ L-42L22P、L-63L23P,共计3种6. 旋转对称轴与对称中心的组合，可产生的新对称型有L3C,共计1种综上所述，对于A类，我们一共推导了 27种对称型下面推导B类（包含多个高次对称轴的对称要素组合）1. 根据欧拉公式，首先推导高次轴的组合，有3L44L36L2、3L44L3，共计2 种2. 3L44L36L2和对称面组合，可形成3L44L36L2 9PC，|共计1种。

3. 3L44L3和对称面的组合，可形成3L-44L36P、3L24L36PC, |共计2种 对于B类，我们一共推导出了 5种对称型以上我们运用对称要素组合规律和对称定律，一一推导出晶体中所有可能的对称型（点群），见教材36页表2-1 二、根据对称要素的特点对七大晶系的划分 等轴晶系（或立方晶系）.：包含4个L3四方晶系： 六方晶系： 三方晶系： 斜方晶系： 单斜晶系： 三斜晶系：包含一个l4或l-4包含一个l6或l-6包含一个l3.l2和P的数目大于1•L2和P的数目等于1无对称面和真正意义上的旋转对称轴人们习惯上将上述七大晶系又划分为三大晶族：高级、中级、低级轴型加垂直主軸的反快而h加穿过上軸的反观面附加对撤中心'.r\CUPCL22P心R：］丄 s (Mr)EP口L^PCL44P[D：]Lb丄点U6PlL6R7]■ J3L23K巴平分5罠弟F垂血［3皿兀］Li 2f.22P[3"R7]L53L23/r'L；i3L23FC]L44L25H：丄界甩〕辽界丄話氏］L-6^2'Ln6L;7PC]\L^LZ7PC]304丄玄3聲和"4 42-36P.-JL24L33Jr][3L24L53H.\3L44L^L2'^i3L44L；i6L29R\ 一3 爲 4山旺沙[3L44L?6L;WV；丄耳比22P1工4兀］1 121 1172崔:匸表示t复三、对称型符号(点群符号)对称型的表示有两种方法：1. 其一为全称表示法：就是将各对称型中的对称要素按轴、面、心的顺序 全部写出，多余一个的将其数目置于对称要素符号之前。

如L66L27PC等2. 其二为符号表示法：根据是一个对称型种的全部对称要素并不都是独立 存在的，根据其独立存在的对称要素必然可以导出其它对称要素，所以在书 写时没必要全部写出符号表示法有两种：一种是所谓的圣弗里斯符号(Shoentlies), —种是 国际符号在圣弗里斯符号中，主符号分别有C、D、0、T、S、，其意义分别代表旋转 点群(Cyclic Group)、二面体点群(Dihedral Group)、八面体点群(Octahedral Group)、四面体点群(Tetrahedral Group)、旋转反映轴(Spiegnl)；其下标 符号有数字、n、i、v、h、d、s等，分别代表旋转轴轴次、对称中心(inner)、 对称面和主轴平行(vertical)、对称面和主轴垂直(hrizontal)、对称面包含 主轴又何两个二次轴夹等角(diagonal)等圣弗里斯符号虽然非常简洁，但比较晦涩难懂，在其后国际有关组织颁布了 国际符号，国际符号的表示方法如下：单一对称轴以数字表示，数字代表对称轴的轴次，如1、2、3、4、6分别代 表L]、L2、L3、L4、L6国际符号表示法采用轴次采用数字，旋转反伸轴在 轴次数字上加一负号；若为对称轴组合，则采用数字并列的方式。

如L66L2对称型的国际符号表示 为622(62)反映对称面用m表示，若旋转对称轴与对称面垂直,则写为n(数字)/m(符号), 如L4PC对称型的国际符号表示为4/m对称中心用T表示表示原则：1. 在国际符号表示法中，一般选用晶体中三个不同方向上的主要 对称要素符号顺序写出即可，如3L2对称型的国际符号为2222. 省略原则：如果能从所表示的对称要素推导出其它对称要素， 就没必要写出其它对称要素，L22P的国际符号为mm (mm2)3. 面优先原则：在既可以写面又可以写轴的情况下尽量写面，因 为面组合可以产生旋转轴，而轴组合不能产生对称面,如对称型 L44L25PC的国际符号我们写成4/mmm(4/m2/m2/m)4. 国际符号中最多只表示晶体三个不同方向上的对称要素，而不 同晶系这种选择规律不同如立方晶系为：a,a+b+c,a+b，如m3m(3L44L36L29PC) 四方晶系为：c,a,a+b，如4/mmm (L44L25PC) 斜方晶系为：a, b, c，如mmm(3L23PC) 单斜晶系为：b，如2 (L2) 三斜晶系为：a，如1 (L])； T (C)三方和六方晶系为:c, a, 2a+b或c, a,如32(L33L2)； 62(L66L2) 以上所述的三种对称型表示法：全称表示法最容易理解和接受，但相对繁琐；圣 弗里斯表示法和相对简洁，但难于理解，国际符号法介于其间。

对于对称型的真正理解，只有掌握了符号表示法才算真正掌握了对称要素组合规 律的真谛，建议大家先掌握全称表示法，慢慢过渡到符号表示法第四节 晶体定向与晶面指数一、晶体定向为了精确并简洁地表示晶体几何形态上的几何要素（角顶。