历届名校自主招生保送生试题及答案.doc

1 / 42同济大学 2003 年暨保送生考试数学试题一、填空题一、填空题1．f(x)是周期为 2 的函数，在区间[1,1]上，f(x)|x|，则___(m 为整数)．3(2)2fm2．函数 ycos2x2cosx,x∈[0,2]的单调区间是__________________．3．函数的值域是__________________．222yxx4． 5．函数 y＝f(x)，f(x+1)f(x)称为 f(x)在 x 处的一阶差分，记作△y，对于△y 在 x 处的一阶差分，称为 f(x) 在 x 处的二阶差分△2y，则 y＝f(x)＝3x·x 在 x 处的二阶差分△2y____________． 6． 7．从 1～100 这 100 个自然数中取 2 个数，它们的和小于等于 50 的概率是__________． 8．正四面体 ABCD，如图建立直角坐标系，O 为 A 在底面的投影， 则 M 点坐标是_________，CN 与 DM 所成角是_________． 9．双曲线 x2y2＝1 上一点 P 与左右焦点所围成三角形的面积 ___________．10．椭圆在第一象限上一点 P(x0,y0)，若过 P 的切线22 143xy与坐 标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题二、解答题 11． 不等式对于任意 x∈R 都成立，求 k 的取值范围．22222log0364xkxk xx12．不动点，．(1) ,3 为不动点，求 a,b,c 的关系；(2) 若，求 f(x)的解析式；(3)( )bxcf xxa1 21(1)2f13．已知，(1) 求 y 的最小值；(2) 求取得最小值时的．sincos([0,2 ))2sincosy 14．正三棱柱 ABC－A1B1C1，|AA1|h，|BB1|a，点 E 从 A1出发沿棱A1A 运 动，后沿 AD 运动，∠A1D1E，求过 EB1C1的平面截三棱柱所得的截 面面积 S 与的函数关系式．15．已知数列{an}满足．1 12nn naaa (1) 若 bn＝anan1(n=2,3,…)，求 bn；(2) 求；(3) 求．1ni iblimnna 16．抛物线 y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为 k，交抛物线与 A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形 ABCD， 使 C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的 k，正方形 ABCD 有什么特点？BACDA1 D1C1B1ABCMDNOxyz2 / 42上海交通大学 2004 年保送生考试数学试题(90 分钟)一、填空题：一、填空题： 1．已知 x,y,z 是非负整数，且 x+y+z=10，x+2y+3z=30，则 x+5y+3z 的范围是__________． 2．长为 l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________．3．函数（）的值域是_____________．xxycossin20 x4．已知 a,b,c 为三角形三边的长，b=n，且 a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________．5．和的最大公约数为，最小公倍数为，则baxx2cbxx21xdxbxcx)3() 1(23=______,=_______,=_______,=__________．abcd6．已知,则方程的相异实根的个数是__________．21 axxa2227．的个位数是______________．8182004)367(8．已知数列满足,，且，则=____________． na11a22annnaaa23122004a9．的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________．nn10．已知,则=_______________．abcxyzxyzabc76xyzabc二、解答题二、解答题 1．已知矩形的长、宽分别为 a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长． 2．某二项展开式中，相邻 a 项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以及二项 式系数． 3．f(x)=ax4+x3+(58a)x2+6x9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．4．，对于一切自然数 n，都有，且，求．11)(1xxxf)]([)(11xffxfnn)()(636xfxf)(28xf5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知为公差为的等差数列，． nb6)(11Nnaabnnn(1) 用、、表示数列的通项公式；1a1bn na(2) 若，，求的最小值及取最小值时的的值．aba11]33,27[anan3 / 42复旦大学 2004 年保送生考试数学试题（150 分钟）一、填空题（每题一、填空题（每题 8 分，共分，共 80 分）分）1．，则_________．) 1)(12(124248axxxxxa2．已知，则的范围是___________．74535xxx3．椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________．191622 yx4．12 只手套（左右有区别）形成 6 双不同的搭配，要从中取出 4 只正好能形成 2 双，有____种取法．5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为 9，则第三项为______． na31a6．的所有整数解之和为 27，则实数的取值范围是___________．0) 1(2axaxa7．已知，则的最大值为____________．194)4(22 yx 9422yx8．设是方程的两解，则=__________．21,xx053cos53sin2xx21arctgxarctgx 9．的非零解是___________．zz 310．的值域是____________．xx y 11 2二、解答题（每题二、解答题（每题 15 分，共分，共 120 分）分）1．解方程：．1)3(log5xx2．已知，，且，求．1312)sin(54)sin(2, 0, 02tg3．已知过两抛物线 C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，2) 1(1yx2(1)41yxa 求．a4．若存在，使任意（为函数的定义域） ，都有，则称函数有界．问MDt D)(xfMxf)()(xf函数在上是否有界？xxxf1sin1)()21, 0(x5．求证：．3131211 333 nL6．已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 AB 的中点，求点 B 到平面 A1EC 的距离．7．比较与的大小并说明理由．25log2426log258．已知数列、满足，且，又，， na nbnnnbaa21nnnbab66121a41b4 / 42求 (1) ；(2) ．nnba ,nn balim简单解答：简单解答：一、填空题：1. 2. 3.20 4. 2)8 . 0 , 6 . 0(31二、解答题： 5．证明 1：111)) 1(1) 1(1() 1() 1(113mmmmmmmmmm=（2111)1111mmmmm而 mmmmm 211 211111113mmm原式0)，点 B 是抛物线的焦点，点 C 在正 x 轴上，动点 A 在抛物 线上，试问：点 C 在什么范围之内时∠BAC 是锐角？v(cm/s)20 15 105O510 15t(s)6 / 42上海交通大学 2005 年保送、推优生数学试题一、填空题一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）1．方程的两根满足，则 p_________（pR） ．2 2102xpxp12,x x44 1222xx2．，则 x=________________．8841sincos,(0,)1282xxx3．已知 nZ，有，则 n______________．1200411(1)(1)2004n n4．将 3 个 12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图） ，将这 6 部分接于一个边长为的正六边形上（如下图） ，6 2若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图， 该多面体的体积为_____________．5．已知，x、yR，则(x,y)=_______________．2 3333xy6．=___________．2222122468( 1)(2 )nn L7．若 z3=1，且 zC，则 z32z22z20_____________． 8．一只蚂蚁沿 1×2×3 立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________． 9．4 封不同的信放入 4 只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率为 _______．10．已知等差数列{an}中，，=______________．37111944aaaa5916aaa二、解答题二、解答题（第 1 题 8 分，第 2、3、4 题各 10 分，第 5 题 12 分）1．的三根分别为 a,b,c，并且 a,b,c 是不全为零的有理数，求 a,b,c 的值．320xaxbxc2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍； 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．3．的最大值为 9，最小值为 1，求实数 a,b．228 1axxbyx4．已知月利率为，采用等额还款方式，则若本金为 1 万元，试推导每月等额还款金额 m 关于的函数 关系式（假设贷款时间为 2 年） ． 5．对于数列{an}：1,3,3,3,5,5,5,5,5,…，即正奇数 k 有 k 个，是否存在整数 r,s,t，使得对于任意正整数 n7 / 42都有恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数） ．[]narnstg2005 年复旦大学考试试卷一、填空题：一、填空题：1．A=，B=，A=______ (表示 B 在 R 上的2 2|10xlogxxR1|221xxxRCBUCB补集)．2．数 x 满足，求．11xx_______1300300xx3．求=的圆心坐标，5 3sin5cos2 , 04．抛物线与直线交于 A 和 B 两点，最大时, a=______．2222aaxxy1 xyAB5．________．22lim11 nnnnn  6．求 1+3+6+…＋．______2) 1(nn7．一个班 20 个学生，有 3 个女生，抽 4 个人去参观展览馆，恰好抽到 1 个女生的概率为________．8．求在十进制中最后 4 位_____________________．100039．定义在 R 上的函数 f(x)（x1)满足 ，则 f(2004)______． xxxfxf  401512002210．求的最大值是__________________．xxycos2sin1 二、解答题二、解答题1．在四分之一个椭圆（x>o, y>0）上取一点 P，使过 P 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三12222 by ax角形的面积最小．2．在 ΔABC 中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求．ABAC3．在正方体 A B C D—A1B1C1D1中，E、F、G 点分别为 AD、AA1、A1B1中点， 求：(。