江苏省如皋市2021届高三数学模拟考试试卷附答案解析.doc

U 2 2020～2021 学年高三年级模拟考试卷数学(满分 150 分，考试时间 120 分钟)2021．02一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．i1. 设复数 z＝ (其中 i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点在( )1＋iA. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知全集 U＝R，集合 A＝{x|lg(x－2)＜1}，集合 B＝{x|x2－2x－3≥0}，则 A∪( B) ＝( )A. (2，12) B. (－1，3)C. (－1，12) D. (2，3)3. 已知直线 m 平面 α，则直线 l⊥平面 α 是直线 l⊥m 的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件π4. 已知 α∈(0， )，2sin 2α－cos 2α＝1，则 cos α的值为( )1 5 3 2 5A. B. C. D.5 5 3 55. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB⊥BD，点 M 为 AD 的中点，MB⊥BC，→ →AD＝2BD＝2，则AB·MC＝( )A. 1 B.C. 3 D.52326. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字 塔内有一组神秘的数字 142857，因为 142 857 ×2＝285 714 ，142 857 ×3＝428 571 ，142 857 ×4＝571 428，…所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999， 428＋571＝999，285＋714＝999，…若从这组神秘数字中任选 3 个数字构成一个三位数 x， 剩下的三个数字构成另一个三位数 y.若 x＋y＝999，则所有可能的有序实数组(x，y)的个数为 ( )A. 48 B. 60 C. 96 D. 1207. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－1)2＋y2＝4，若直线 l：x＋y＋m＝0 上有且只有一个点 P 满足：过点 P 作圆 C 的两条切线 PM，PN，切点分别为 M，N，且使得四边11 22 1 1 22 12 1 ï ì x î ï 形 PMCN 为正方形，则正实数 m 的值为( )A. 1 B. 2 2 C. 3 D. 78. 已知 f(x) 是 定义在 R 上 的奇 函数， 对任 意两 个不 相等的 正数 x ， x ， 都有1f（ln ）x f（x ）－x f（x ） f（0.23） f（sin 1） 3＞0，记 a＝ ，b＝ ，c＝－ ，则 a，b，c 的大 x －x 0.23 sin 1 ln 3小关系为( )A. a＜b＜c B. b＜a＜cC. c＜a＜b D. c＜b＜a二、 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分．9. 已知(2x＋1)nx的二项展开式中二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是( )A. 二项展开式中各项系数之和为 363B. 二项展开式中二项式系数最大的项为 160x2C. 二项展开式中无常数项D. 二项展开式中系数最大的项为 90x3π10. 如图，已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的图象与 x 轴交于点 A，4 2B.若 OB＝7OA，图象的一个最高点 D( ， )，则下列说法正确的是( )3 3πA. φ＝－4B. f(x)的最小正周期为 42 4C. f(x)一个单调增区间为(－ ， )3 35D. f(x)图象的一个对称中心为(－ ，0)3x＋y11. 设函数 y＝f(x)定义域为 D，若存在 x，y∈D，且 x≠y，使得 2f( )＝f(x)＋f(y)，2则称函数 y＝f(x)是 D 上的“S 函数”，下列函数是“S 函数”的是( )A. y＝2xB. y＝x－sin x＋1C. y＝ln x D. y＝í，x＞0，1，x≤012. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 M 是边 CD 的中点，将△ADM 沿 AM 翻 折到△PAM，连接 PB，PC，在△ADM 翻折到△PAM 的过程中，下列说法正确的是( )22 5A. 四棱锥 PABCM 的体积最大值为5B. 当平面 PAM⊥平面 ABCM 时，二面角 PABC 的正切值为54C. 存在某一翻折位置，使得 AM⊥PBD. 棱 PB 的中点为 N，则 CN 的长为定值三、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 设 f(x)＝ax＋x，若 f(3)＝6，则不等式 f(2x－1)＞f(x)的解集为________．1 m14. 已知 m，n 均为正数，a＝(1，m)，b＝(2，1－n)，且 a∥ b，则 ＋ 的最小值为________．m nx2 y215. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F，过点 Fa2 b2且与 x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A，过点 F 且平行于 OA 的 直线交另一条渐近线于点 B.若 AB⊥OB，则双曲线 C 的离心率为________．16. “双十一”是指每年的 11 月 11 日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的 大型购物促销狂欢日．某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满 5 888 元的顾 客会随机获得 A，B，C 三种赠品中的一件，现恰有 3 名顾客的购物金额满 5 888 元．设随机 变量 X 表示获得赠品完全相同的顾客人数，则 P(X＝0)＝________，E(X)＝________．四、 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤．17. (本小题满分 10 分)从① △ABC 的面积 S＝2；② AD⊥CD 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进3π行求解．如图，在平面四边形 ABCD 中，AB＝CD＝2，B＝ ，对角线 AC 平分∠BAD，4且________，求线段 AD 的长．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．3＋ 1 nn n 1 n n n nn n n 18. (本小题满分 12 分)已知数列{a }的前 n 项和为 S ，首项 a ＝1，S ＝2S ＋1.(1) 求数列{a }的通项公式；(2) 设 b ＝na ，记数列{b }的前 n 项和为 T ，是否存在正整数 n，使得 T ＝2 021？若存 在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC，BD 相交于点 N，DN＝2NB.已知 PA＝AC＝AD＝3，BD＝3 3，∠ADB＝30°.(1) 求证：AC⊥平面 PAD；(2) 设棱 PD 的中点为 M，求平面 PAB 与平面 MAC 所成二面角的正弦值．40 0 20. (本小题满分 12 分)习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目 标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前“，日行万步”正式成为健康生活的 代名词．某地一研究团队统计了该地区 1 000 位居民的日行步数，得到如下表格：日行步数(单位：千[0，2](2，4](4，6](6，8](8，10](10，12](12，14]步)人数206017020030020050(1) 为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过 8 千步为标准进行分层抽 样，从上述 1 000 位居民中抽取 200 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为日行步数与居民年龄超过 40 岁有关；日行步数≤8 千步日行步数＞8 千步总计40 岁以上10040 岁以下(含 40 岁)50总计200(2) 以这 1 000 位居民日行步数超过 8 千步的频率，代替该地区 1 位居民日行步数超过 8 千的概念，每位居民日行步数是否超过 8 千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查 了 20 位居民，其中日行步数超过 8 千的最有可能(即概率最大)是多少位居民？参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2，其中 n＝a＋b＋c＋d.（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k ) k0.053.8410.0255.0240.0106.6355＋ 121. (本小题满分 12 分)x2 y2已知椭圆 C： ＋ ＝1(a＞b＞0)经过点 A(2，1)，且椭圆 C 在点 A 处的切线方程为 y＝a2 b2－x＋3.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设过点 B(3，0)且与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，直线 AM， AN 分别与直线 x＝－3 交于点 P，Q，记点 P，Q 的纵坐标分别为 p，q，求 p＋q 的值．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－x－1，x＞0. (1) 若关于 x 的不等式 xf(x)＞kex－x2围；2f（x）(2) 设 g(x)＝ ，x＞0.x2① 求证：g(x)＞1；－2x－2 对任意的 x＞0 恒成立，求实数 k 的取值范3 1② 若数列{a }满足 0＜a ＜ln ，a ＝ln g(a )，求证： ea －1＜ .n 1 2 n n n 2n64 44 2 n 1 n1 2 12 12 1n n1 n 1 n,n 1 n2020～2021 学年高三年级模拟考试卷 (如皋)数学参考答案及评分标准1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D 9. AB 10. BCD 11. BD 12. ABD13. (1，＋∞) 14. 4 15.2 3 2 516.3 9 317. 解：选①.因为△ABC 的面积为 2，1 1 2所以 ·AB·BC·sin B＝2，即 ×2×BC× ＝2，解得 BC＝2 2. 2 2 2在△ABC 中，根据余弦定理得 AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos B，所以 22＋(2 。