第二章随机变量知识点、题型小结.docx

第二章、随机变量及其分布列知识点小结、知识结构、知识点(一)、离散型随机变量1. 随机变量定义：我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种—关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为常用字母—、—、—、— …表示.2. 随机变量与函数的关系随机变量与函数都是一种，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围 相当于函数的.3. 利用随机变量我们还可以表示一些事件，例：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X随机变量｛% = 0｝表示； “抽出3件以上次品”可用 随机变量 表示.…"曰心八*「离散型随机变量4. 随机变量的分类＜〔连续型随机变量5,离散型随机变量的分布列:X123456P若离散型随机变量X可能取的不同值为x , x，…，x，…，x，X取每一个值x (Z = 1,2, ... , n)的概率 1 2 i n iP(X = x^) = p .则上述表格就称为离散型随机变量― 6.分布列的表示方法有：①列表法表示：Xxx• • •x• • •xPP、p 2• • •p• • •p② 解析式法表示： ③ 图象法表示： 7,离散型随机变量的分布列具有的性质：(1) ； (2) 9.超几何分布列：一般地，从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中加油X件次品，则P(X=k)=其中X01• • •mPCMCNMCnCMCN^Cn• • •C mt C n - mCn如果随机变量X的分布列具有上述表格的形式，则称随机变量X服 。

10.求离散型随机变量分布列的步骤： 8.两点分布列:X01P1 - PP称X服从;称p = P (X = 1) 为..两点分布的特点是：(二)、条件概率1. 事件的交(积)：由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称事件A与B的交(积)记D=AC B或D=AB2. 和(并)事件： 2. 定义及计算公式：一般地，设A、B两个事件，且P(A)>0，称= =为在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率P(B|A)读作3. 条件概率具有概率的性质：有界性 < P(B|A) <可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B u C A) =例1在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.2.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现而女 一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下 第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ()3 2 7 7A.而 " 命 "求解条件概率的一般步骤： (三)、事件的相互独立性1. 事件A与事件B的相互独立定义：设A, B为两个事件，如果，则称事件A与事件B的相互独立.① 在事件A与B相互独立的定义中，A与B的地位是对等的，一件事的发生与否对另一件事情发 生的概率没有影响：② 不能用P(B|A) = P(B)作为事件A与事件B相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是P (A) > 0 :③ 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都.③ 相互独立事件同时发生的概率公式(概率的乘法公式)应用公式的前提？④ 互斥事件与相互独立事件的区别：⑤ 判断两个事件相互独立的方法：⑥ 推广：如果事件A1，A2,…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率：应用公式的前提？例1：甲乙两人解一道数学题，他们能解出的概率分别是1、2 ；求(1)恰有一人能解出这道题的4 3概率(2)这道题能被解出的概率2. 已知A、B、相互独立，试用数学符号语言表示下列关系：A、B、发生的概率分别为P(A)、P(B)、① A、B同时发生概率； ② A、B都不发生的概率； ③ A、、中恰有一个发生的概率；④ A、B中至多有一个发生的概率； ⑤ A、B中至少有一个发生的概率； (四)、独立重复试验与二项分布1. 独立重复试验：在 的条件下 做的n次试验称为n次独立重复试验.2. 注意：独立重复试验的基本特征：(1)、每次试验是 条件下进行；(2)、每次试验都只有两种结果 与 ；(3)、各次试验中的事件是 ； ( 4)、每次试验,某事件发生的概率是 。

5).独立重复试验的实际原型是 的抽样试验有放回，无放回)3. 二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X ,在每次试验中事件A发生的概率为p , 那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X = k) =， k = 0,1,2, , n则称随机变量X服从.记作：X〜B ( )，并称p为.注意：公式中的 X、k、n、p分别表示什么？4.二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系?例1例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射击手在5次射击中(1)恰有3次击中目标的概率；(2)至少有3次击中目标的概率.(3)击中次数少于3次的概率是 多少？变式：上题目中求下列问题的概率(1)只有前3次击中目标的概率(2)第二次击中的概率(3)刚好第二次、第五次击中目标的概率(五)、离散型随机变量的均值1. 样本平均数计算公式 加权平均数计算公式2. 均值或数学期望：若离散型随机变量x的分布列为：Xxx• • •x• • •xPplp2• • •p• • •p则称E( X)=.为随机变量X的均值或数学期望.它反映 离散型随机变量取值的.注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系：3. 几种分布的数学期望① 若X 服从两点分布，则E( X ) =; ②若X ~ B (n, p)，贝0 E( X ) =③若X服从超几何分布，则(X )=4. 求离散型随机变量的数学期望的方法和步骤？5. 求随机变量的连续函数的概率一般地，若E是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(&)也是随机变量，即随机变量的某些函 数也是 。

要求f(g)的分布列，只需求出随机变量g的分布列，再求f(g )的分布列时，要做到f(g)的取值 ，若f(g )的取值有重复时，需把他们的概率，作为此随机变量的概率6. 离散型随机变量期望的性 质：若Y = aX + b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX + b) =.特别地，我们有：当a=0时，当a=1时，有 当b=0时，有 例：已知随机变量X的分布列为：X-2-1012P111m1_43520试求：(1) E(X) ;(2)若 Y=2X,求 E(Y) ; (3)若 Y=2X-3,求 E(Y) ( 4)若 Y = X 2 求 e (Y)(六)、离散型随机变量的方差1. 样本的方差、标准差计算公式？2. 离散型随机变量的方差：当已知随机变量g的分布列为P(g =「)= pk (k = 1,2,)时，则称 (g) =为g的方差，(g) = 为g的标准差随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的. ( g)越小，稳定性 —， 波动越 .注意：随机变量的方差与样本方差的区别与联系：3. 方差的性质：当a, b均为常数时，随机变量门=a g + b的方差D (^ ) = D (a g + b) =.特别是:①当a = 0时，D(b)=—，即常数的方 差等于 ;② 当a = 1时，D (^ + b) =，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差—;③ 当b = 0时，D (a &)=，即随机变量与常之积的方差，等于常数的 与这个随机变量方差的积4. 常见的一些离散型随机变量的方差：(1)单点分布： D( g)=；(2)两点分布： D( g)=；(3)二项分布：D( g)=5. 求随机变量的方差的方法和步骤：6.几种分布的期望和方差表期望方差两点分布二项分布超几何分布(七)、正态分布1.正态曲线：(又称钟形曲线) 2.正态密度函数 ，% G ，(其中实数日和b (b A 0)为)3. 正态分布：如果对于任何实数a < b，随机变量X满足，P(a < X < b) =，则称X的分布为正态分布.记作：X ~ N ( ).其中口,b (b > 0)分别为正态分布下随机变量X的 和 。

特别地，当|1 = 0, b = 1，称X服从 4. 正态曲线的特点：(1)曲线位于％轴，与％轴;(2)曲线是单峰的，它关于直线 对称；(3) 曲线在 处达到峰 ；(4) 曲线与％轴之间的面积为. (5)对称区域面积5. 正态曲线随着日和b的变化情况：①当b 一定时，曲线随着日的变化而沿%轴；②当日一定时，曲线的 由b确定.b越小，曲线越“”，表示总体的分布 ； b越大，曲线越“”，表示总体的分布 越 .6. 正态分布中的三个概率：P(口 一b < X <^+b ) =； P(口一 2b < X < 口 + 2b ) =； P (口— 3b < X < 口 + 3b ) =.7. 小概率事件与3b原则：在一次试验中几乎不可能发生，一般他发生的概率不超过5%，则称该事件为 正态总体几乎总取值于区间 此区间以外取值的概率只有 在实际应用中，通常称服从正态分布的随机变量X只取 之间的值，简称之 原则例 1.若 X〜N(5,1)求 P(4