稳定性是系统本身的性质之一与激励信号无关稳.ppt

稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关 稳§3.6 LTI系统的稳定性系统的稳定性是单位冲激响应绝对可积：系统就是不稳定的LTI系统BIBO稳定的充分必要条件称BIBO）的系统如果对有界激励，系统的响应无界，普遍采用的稳定系统定义：有界输入产生有界输出（简几种不同的提法，但是没有实质性的差别 这里给出定系统也是一般系统设计的目标之一稳定性的概念有将系统稳定性分为三类上式中以既可由为一有界的实数满足此式的，一定是随时间衰减的函数，即LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性，稳定性也必在其中所的不同情况，也可由的极点分布，一、系统稳定性分类一、系统稳定性分类1稳定由§3.6零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半平面（不含虚轴），单位冲激响应满足系统稳定1、系统稳定性分类、系统稳定性分类(1) 稳定由§3.6零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半平面（不含虚轴），单位冲激响应满足系统稳定(2) 不稳定系统不稳定若有极点落在右半平面，或者轴、原点处有二阶以上重极点，则单位冲激响应(3) 边（临）界稳定，但为使分类简化，可将其归为非稳定系统若在原点或轴上有一阶极点，虽然单位冲激响应其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正弦振荡。

因为3是处于1、2两种情况之间，故称边（临）界稳定例如纯网络，二、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系二、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系设：根，对应因式为系统函数稳定系统的极点应位于平面的左半平面，因此根的实部应为负值它的根一般有下面两种情况：一是实数 二是共轭复根，对应因式为上式表明复数根只能共轭成对出现，否则不能保证、为实数又因为复数根的实部应为负值，因此，所以、必为正值综上所述，将分解后，只有、两种情况，且、、 均为正值这两类因式相乘后，得到的多项式系数必然为正值，并 的系数关系：稳定系统与分母多项式且系数为零值的可能性也受到了限制由此我们可得到(1) (2) 多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项 的系数全部为正实数以上是系统稳定的必要条件当系统为一阶、二阶系统时，系数如果给定系统稳定的充分必要条件表示式，由此可对系统稳定性作出初步例3-24 已知系统的 (3) 如下，试判断是否为稳定系统？(2)(1)就是解1 分母有负系数所以为非稳定系统解2解3 满足稳定系统的必要条件，是否稳定还需进一步进行分解定系统中缺项，所以不是稳定系统。

分解检验对可见有一对正实部的共轭复根，所以系统3为非稳系统稳定性变化解 整理上式，得例例3-24 如图3-28所示反馈系统，讨论当从零增长时 将代入上式，得 由此得到：其中：代入具体值讨论： ，，系统不稳定；界稳定；为具有负实部的共轭复根，系统稳定代入具体值讨论：时，反馈支路开路，系统无负反馈，极点为，时，系统加大了反馈，极点为，，、系统稳定；时，系统进一步加大了反馈，极点为系统临推得一般结论：系统加负反馈可以增加系统的稳定性以上分析可知系统稳定，系统不稳定可以系统稳定的相同结论由二阶系统稳定的充分必要条件，亦可得到例3-25 系统具有反馈环路，也称闭环系统若断开系统中的反馈支路，则系统为开环系统通过以上分析知道，当变化时，闭环系统特征方程的特征根（极点）会随着变化，系统的稳定性也会发生改变随着闭环系统函移动的路径称根轨迹，如图3-29就是例3-25系统数参数 变化，其特征方程 -2 -0.50 1的根轨迹图的特征根（极点）在s平面MATLAB的程序，可以很方便的利用开环系统函数，由系统的根轨迹研究系统的稳定性，有独到之处。

但对有若干极点的复杂系统，作根轨迹图并非易事借助如下作出闭环系统的根轨迹例3-25根轨迹的MATLAB程序a=[1 1 -2];%开环分母多项式系数b=[0 0 1]; %开环分子多项式系数rlocus(b,a);%根轨迹title('例3.6-2根轨迹')例3-25的根轨迹如图3-30所示四、罗斯稳定性准则四、罗斯稳定性准则确值，只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就由上面的讨论，已知满足稳定系统必要条件时，项工作往往很繁，尤其求高阶系统的特征根不容易实为判断极点具体位置，需要求分母多项式的根这际上为了判断系统稳定性，不需要解出方程全部根的准否稳定只判别具有正实部根数目的方法，可以用来判断系统是可以1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值，列数字符号相同罗斯阵列”排写如下：若则方程式的根全部位于s左半平面的充分必要条件是多项式的全部系数大于零；无缺项；罗斯阵列中第一罗斯准则（判据）为“罗斯阵列”排写如下：第一行第二行第三行第四行第五行第n+1行排在第二行第三行以后的系数按以下规律计算：其中罗斯阵列前两行由多项式的系数构成第一行由最高次项系数及逐次递减二阶的系数得到的。

其余 ； ； 依次类推，直至最后一行只剩下一项不为零，共得n+1行即n阶系统，罗斯阵列就有n+1行有符号不相同，则符号改变的次数就是具有正实部根的数目例3-26 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根解：全部系数大于零，无缺项n=4，排出n+1=5行如果第一列各元素数字罗斯阵列为第一行 2 12 2第二行 1 8 0第三行第四行第五行0 0 0 0有两个正实部的根，为非稳定系统第一列数字两次改变符号（从；），所以 借助MATLAB程序，求出极点并作出系统函数的极点分的MATLAB程序及结果如下布图，可以验证上面的结论例3-26系统的零、极点图a=[2 1 12 8 2];%多项式系数r=roots(a)%极点pzmap(1,a)%极点图-0.3385 + 0.2311i答案由答案及图3-31可见确实有两个实部大于零的极点r =0.0885 + 2.4380i0.0885 - 2.4380i-0.3385 - 0.2311i§3.7 连续时间系统的模拟及流图表示连续时间系统的模拟及流图表示在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析实效。

对系统的影响这种方法往往比繁冗的数学运算更具有进行观察，以直观了解各种激励对响应的影响以及参数外，往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行1、连续时间系统的模拟（仿真）用系统的观点来分析问题时，我们可以把系统看做一个输入、输出之间的转换关系，如图3.-32所示黑盒子”，不管它们内部的具体结构、参数，关心的是通过实例说明，不同的结构和参数的系统可以具有相同输入、输出关系+-+-+-+-例例3-27 分别求如图3-32、、3-33所示RL、RC电路的系统函数解这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们传输型都是一阶微分方程函数相同，因此它们的输入输出关系完全相同，数学模n阶LTI系统微分方程的一般形式为其系统函数为 要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或为此可以选择实际上容易实现的结构进行模拟入输出关系的系统，系统实现的结构、参数不是唯一的，微、积分方程进行模拟从上面的例子知道具有相同输用三种基本运算，就可对LTI系统微分方程式的运算关系基本运算的模拟开始程描述,亦可由基本运算器组成的模拟图描述下面先从器、积分器描述系统的输入、输出关系既可用数学方它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法作系统模拟。

这三种基本运算是加法、标量乘法与积分加法器如图3-34所示1、加法运算关系、加法运算关系2、标量乘法运算关系、标量乘法运算关系标量乘法器如图3-35所示3、积分运算关系、积分运算关系积分器如图3-36所示2、系统模拟的直接形式、系统模拟的直接形式(微分方程形式微分方程形式)(1) 全极点系统模拟的直接形式全极点系统模拟的直接形式一阶系统的微分方程及系统函数表示将一阶线性线性系统的微分方程改写为与复频域模拟图，如图3-37所示将做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域 一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟，其微分方程及系统函数为 改写微分方程如图3.-38所示积分器的输入为，、经两次积分得到，其模拟由二阶系统模拟可推广至全极点及系统函数为阶系统，其微分方程阶系统模拟如图3-39所示 2、一般系统模拟的直接形式、一般系统模拟的直接形式以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，将上式改写为式3.7-8的模拟如图3-40所示一般还有零点例如一般二阶系统的系统函数为由一般二阶系统的模拟不难推广到的模拟如图3-41所示阶系统， 阶系统一般阶系统模拟有个积分器。

在系统模拟图中，时，实际为短路时，实际为开路；3、其他形式的模拟、其他形式的模拟复杂系统往往由多个子系统组成，常见的组合形式有通常用方框图表示子系统与系统的关系可以简化复杂系统的表示，突出系统的输入输出关系，子系统的级联、并联、混联、反馈等由于用方框图(1) 级联形式级联形式级联模拟实现方法是将分解为子系统（基本节）相乘是的子系统也有将级联形式称为串联形式上式表明级联的系统函数是各子系统函数的乘积，子式中系统的级联如图3-42所示子系统模拟的基本形式有两种，一是实单极点的一阶模将各子系统串联起来,可得系统模拟图，称为级联模拟图则是系统内所有参数为实数利用基本形式的模拟，再拟，二是共轭极点组成的二阶模拟，子系统模拟构成原例3-28已知某系统函数为级联模拟图画出其解子系统的级联的一种形式如图3-28所示 -13-22、并联模拟、并联模拟并联模拟实现方法是对 部分分式展开是的子系统子系统模拟的基本形式同级联模拟整个系统可以看个子系统的迭加(并联),其中每个子系统可按上面 式中成的子系统模拟,这种形式称为并联形式子系统的并联图如图3-44所示┇例3-29 已知某系统函数为同例3-28，画出其并联模拟图。

解例3-29系统的并联式如图3-45所示 -1 2 -2 -13、混联混联系统的系统函数计算要根据具体情况具体对待如图(b) 的系统函数为图 (a)图3.-46(a)、(b)所示系统图(a)的系统函数为图(b)4、反馈系统由子系统组合的反馈系统方框图如图3-47所示各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同例如，微分方程(直接形式)可调整的是微分方程的系数、； 级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系统的极点与留数 在实际工作中可根据各种因素,适当选择模拟方式达到较好的系统设计效果其系统函数为-各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同例如，统的极点与留数 在实际工作中可根据各种因素,适当选微分方程(直接形式)可调整的是微分方程的系数；、级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系择模拟方式达到较好的系统设计效果4、连续系统的信号流图表示、连续系统的信号流图表示在方框图中，系统函数可以由各子系统与连接方式决定可以将方框图与模拟图再加以简化方框图和模拟图表示还不是最简表示，用信号流图在模拟图中，系统函数可以由各基本器件与连接方式决统的具体处理方法是：用带箭头的有向线段代替模拟图个节点的，表示相加或相减（传递系数有负号）。

传递系数直接标在箭头旁；有两个以上有向线段指向一与输出；线段箭头的方向是信号传输的方向，原方框的中的方框；线段的两个端点是节点，表示原方框的输入信号流图是用节点与有向支路描述系统用流图表示系前面的方框图与模拟图都可以用流图表示，例如 二阶系统的流图如图3-48所示n阶系统模拟的流图如图3.-49所示例3-28的流图如图3-51所示3 -1-2例3-29系统的级联流图如图3-53所示1-2 -12。